Оглавление
Теорема о неподвижной точке
-
Основы теоремы о фиксированной точке
- Функция F имеет по крайней мере одну фиксированную точку при определенных условиях.
- Теорема Банаха гарантирует сходимость итераций функции к фиксированной точке.
- Теорема Брауэра утверждает, что непрерывная функция на единичном шаре имеет неподвижную точку, но не описывает метод ее нахождения.
-
Примеры и приложения
- Функция косинуса имеет фиксированную точку в [-1, 1].
- Теорема Лефшеца и Нильсена позволяют подсчитать неподвижные точки в алгебраической топологии.
- В теории PDE обобщения теоремы о фиксированной точке применяются для решения дифференциальных уравнений.
- В денотационной семантике рекурсивные определения могут быть описаны с помощью теоремы Кнастера-Тарского.
-
Обобщения и применения в других областях
- В алгебре и дискретной математике теорема Кнастера-Тарского утверждает, что функция, сохраняющая порядок, имеет неподвижную точку.
- В лямбда-исчислении комбинатор с фиксированной точкой позволяет найти фиксированную точку для лямбда-выражений.
- В теории множеств лемма о фиксированной точке применяется к непрерывным функциям, строго возрастающим от ординалов к ординалам.
- В позитивной теории оператор замыкания имеет множество фиксированных точек, которые являются “закрытыми элементами”.
- Инволюции на конечных множествах с нечетным числом элементов имеют фиксированную точку, что используется в доказательстве теоремы Ферма.
-
Список теорем о фиксированной точке
- В статье перечислены различные теоремы о фиксированной точке, включая теорему Атии-Ботта и теорему Тихонова.
-
Ссылки и сноски
- В статье есть сноски, рекомендации и внешние ссылки, связанные с теорией фиксированной точки.
Полный текст статьи: