Оглавление
Теорема о верхней границе
-
Теорема о верхней границе
- Циклические многогранники имеют максимальное число граней среди выпуклых многогранников с заданным размером и количеством вершин.
- Это утверждение было сформулировано Теодором Моцкиным и доказано Питером Макмалленом в 1970 году.
- Ричард П. Стэнли усилил утверждение, применив его к подразделениям сферы в 1975 году.
-
Определение циклических многогранников
- Циклический многогранник Δ(n,d) определяется как выпуклая оболочка n вершин на кривой момента.
- Количество i-размерных граней Δ(n,d) задается формулой f(Δ(n,d)) = (n i + 1) для 0 ≤ i < ⌊d/2⌋.
- Полная формула для числа граней определяется с помощью уравнений Дена–Соммервиля.
-
Заявление теоремы
- Теорема о верхней границе утверждает, что число граней произвольного многогранника не может быть больше числа граней циклического или соседнего многогранника с тем же размером и количеством вершин.
- Асимптотически это означает, что существует не более O(n⌊d/2⌋) граней всех измерений.
-
История доказательства
- Гипотеза о верхней границе для симплициальных многогранников была предложена Моцкиным в 1957 году.
- Макмаллен доказал гипотезу в 1970 году, используя переформулировку в терминах h-векторов.
- Виктор Клее предположил, что утверждение справедливо для всех симплициальных сфер.
- Стэнли установил это в 1975 году, используя понятие кольца Стэнли–Рейснера и гомологические методы.