Оглавление [Скрыть]
Теория представлений алгебр Хопфа
-
Представление алгебры Хопфа
- Представление алгебры Хопфа H над полем K — это K-векторное пространство V с действием H × V → V.
- Векторное пространство V называется H-модулем.
-
Свойства H-модулей
- Модульная структура представления алгебры Хопфа — это структура модуля для базовой ассоциативной алгебры.
- H-модули образуют категорию, где тензорное произведение является функториальным.
- Инвариантные элементы H-модуля образуют подмодуль.
-
Категории представлений
- Тензорное произведение V1 ⊗ V2 двух H-модулей V1 и V2 не обязательно является H-модулем.
- Для функториального тензорного произведения должна существовать линейная операция Δ : H → H.
- Категория H-модулей должна быть строгой моноидальной категорией по отношению к ⊗.
- Тривиальный модуль eH должен быть одномерным и удовлетворять определенным условиям.
-
Биалгебры и антиподы
- Для моноидальной категории H-модулей достаточно иметь отображения Δ и ε, удовлетворяющие определенным условиям.
- Для существования двойственного представления V должно существовать линейное отображение S: H → H.
- Если S удовлетворяет определенным условиям, H называется алгеброй Хопфа.
-
Представления в алгебре
- Алгебра Хопфа также имеет представления в алгебрах.
- Представление H в алгебре A называется H-эквивариантным, если μ является H-эквивариантным.
- Алгебры Ли, супералгебры Ли и группы также могут иметь представления в алгебре.