Спинор

Оглавление1 Спинор1.1 Определение спиноров1.2 Поведение спиноров при вращении1.3 Алгебра Клиффорда и спиноры1.4 Математическое определение1.5 Обзор1.6 Геометрическая точка зрения на спиноры1.7 […]

Спинор

  • Определение спиноров

    • Спиноры — элементы векторного пространства, основанные на комплексных числах.  
    • Преобразуются линейно при вращении евклидова пространства, но меняют знак при повороте на 720°.  
    • Введены Эли Картаном в 1913 году, используются для описания спина электрона и других частиц.  
  • Поведение спиноров при вращении

    • Спиноры изменяются по-разному в зависимости от деталей поворота.  
    • Существует два топологически различимых класса путей, приводящих к одному повороту.  
    • Спиноры описываются двузначным проективным представлением группы вращения SO(3).  
  • Алгебра Клиффорда и спиноры

    • Алгебра Клиффорда — ассоциативная алгебра, построенная из евклидова пространства.  
    • Спиновая группа и её алгебра Ли встроены в алгебру Клиффорда.  
    • Спиноры — векторы-столбцы, на которые воздействуют гамма-матрицы.  
  • Математическое определение

    • Пространство спиноров — фундаментальное представление алгебры Клиффорда.  
    • Спиноры также определяются как спиновое представление ортогональной алгебры Ли.  
    • Спиноры — элементы конечномерного группового представления спиновой группы.  
  • Обзор

    • Существуют две основы для рассмотрения спиноров: теория представлений и геометрическая точка зрения.  
    • С точки зрения теории представлений, спиноры принадлежат представлению двойного покрытия группы вращения SO(n, R).  
    • Спиноры проявляются в группе спинов, которая дает двузначные проективные представления.  
  • Геометрическая точка зрения на спиноры

    • Спиноры можно явно построить и исследовать их поведение под действием групп Ли.  
    • Алгебры Клиффорда дают полную картину спиновых представлений и их взаимосвязей.  
  • Алгебра Клиффорда

    • Алгебра Клиффорда cℓ(V, g) порождается V и антикоммутационным соотношением.  
    • В случае V = Cn, cℓN(C) изоморфна алгебре Mat(2k, C).  
    • cℓ(V, g) имеет уникальное неприводимое представление Δ размерности 2[n/2].  
  • Вращающиеся группы и спиноры

    • Спиноры образуют векторное пространство, оснащенное линейным групповым представлением спиновой группы.  
    • Группа вращений не является односвязной, но спиновая группа является её двойным покрытием.  
    • Спиноры кодируют базовую информацию о топологии группы вращений.  
  • Спинорные поля в физике

    • Спиноры можно связать с векторными пространствами с квадратичной формой.  
    • В 4-мерном пространстве-времени спиноры описывают спиновую структуру.  
    • Уравнения Дирака и Вейля имеют решения, представляющие плоские волны с симметриями спиноров.  
  • Спиноры в теории представлений

    • Спиноры позволяют строить линейные представления алгебр Ли специальных ортогональных групп.  
    • Спиновые представления отличаются от тензорных весами, которые являются полуцелыми линейными комбинациями корней алгебры Ли.  
  • Попытки интуитивного понимания

    • Спиноры обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым числом n размеров.  
    • Спиноры трудно для понимания, их алгебра формально понятна, но общее значение остается загадочным.  
  • История спиноров

    • Спиноры были открыты Эли Картаном в 1913 году.  
    • Слово «спинор» введено Полом Эренфестом в 1927 году.  
    • Вольфганг Паули применил спиноры в математической физике в 1927 году.  
    • Поль Дирак открыл релятивистскую теорию спина в 1928 году.  
    • Спинорные пространства были представлены в виде левых идеалов матричной алгебры в 1930 году.  
  • Примеры спиноров

    • Спиноры возникают из четноградуированных подалгебр алгебры Клиффорда.  
    • В двух измерениях спиноры определяются как линейные комбинации 1 и σ1σ2.  
    • В трех измерениях спиноры являются кватернионами.  
  • Действие спиноров

    • Элементы с четной градацией воздействуют на спиноры по-разному.  
    • В двух измерениях спиноры вращаются на 45° при повороте вектора на 90°.  
    • В трех измерениях спиноры вращаются на 180° при повороте вектора на 360°.  
  • Алгебраические подходы

    • Спиноры могут быть представлены как минимальные левые идеалы алгебр Клиффорда.  
    • Спиноры используются в квантовой теории и компьютерной графике.  
  • Проблема преобразования векторного вращения в спинорное

    • Выражение (1) с (180° + θ/2) вместо θ/2 приводит к отрицательному значению спинорного вращения.  
    • Спинорно-кватернионное представление вращений становится популярным в компьютерной геометрии.  
  • Явные конструкции спиноров

    • Пространство спиноров можно построить явно с помощью конкретных и абстрактных конструкций.  
    • Эквивалентность конструкций следует из уникальности спинорного представления комплексной алгебры Клиффорда.  
  • Составные спиноры

    • Пространство спиноров определяется через ортонормированный базис и гамма-матрицы.  
    • В измерении 3 гамма-матрицы Паули приводят к двухкомпонентным спинорам.  
    • В общем случае можно использовать матрицы Вейля-Брауэра.  
  • Абстрактные спиноры

    • Существует два подхода к абстрактному определению спиноров: через минимальные идеалы и через внешнюю алгебру.  
    • Минимальные идеалы определяются через изотропное подпространство W и генератор ω.  
    • Внешняя алгебра определяется через изотропное подпространство W и действие алгебры Клиффорда.  
  • Построение внешней алгебры

    • Спинорное представление можно определить через внешнюю алгебру Λ∗ W изотропного подпространства W.  
    • Действие алгебры Клиффорда на спиноры определяется через разложение элементов V на W и W’.  
    • В четном случае спиноры разлагаются на полуспиновые представления.  
    • В нечетном случае спиноры также разлагаются на полуспиновые представления, но с добавлением единичного вектора u.  
  • Определение спиноров

    • Спиноры определяются как комплексные векторные пространства, расщепляющиеся на два изотропных подпространства.  
    • В эрмитовых векторных пространствах спиноры возникают из разложения комплексообразования.  
  • Разложение Клебша–Гордана

    • Разложение Клебша–Гордана выражает тензорное произведение представлений спина через чередующиеся представления ортогональной группы.  
    • Для вещественных ортогональных групп существуют символы σ+, σ− и σ, определяющие ориентацию.  
  • Равномерные размеры

    • В четных размерах тензорное произведение Δ с контрагредиентным представлением разлагается на Γp.  
    • В полуспиновых представлениях разложения аналогичны, но с использованием Γ2p.  
  • Нечетные размеры

    • В нечетных размерах тензорное произведение Δ с контрагредиентным представлением разлагается на Γ2p.  
    • В реальном случае изоморфизм Δ¯ ≅ σ−Δ∗.  
  • Последствия

    • Разложения Клебша–Гордана важны для теории электрона Дирака.  
    • Спиноры определяют амплитуду вероятности, электрический ток и вероятностный ток.  
  • Примеры в малых размерах

    • В 1 измерении спинорное представление является майорановским.  
    • В 2 измерениях спиноры Вейля являются комплексными числами.  
    • В 3 измерениях спинорное представление кватернионное.  
    • В 4 измерениях существуют два кватернионных спинора Вейля.  
    • В 5 измерениях спинорное представление кватернионное.  
    • В 6 измерениях существуют два комплексных спинора Вейля.  
    • В 7 измерениях спинорное представление вещественное.  
    • В 8 измерениях существуют два вещественных спинора Вейля-Майораны.  
    • В d + 8 измерениях спинорные представления имитируют структуру в d измерениях, но с размерами в 16 раз больше.  
  • Пространства-времена

    • В пространствах-временах с p пространственными и q временными направлениями спинорные представления имитируют структуру в |p − q| евклидовых измерениях.  
    • В 3 + 1 измерениях существуют два комплексных спинора Вейля и 2-компонентный спинор.  

Полный текст статьи:

Спинор

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх