Оглавление
- 1 Спинор
- 1.1 Определение спиноров
- 1.2 Поведение спиноров при вращении
- 1.3 Алгебра Клиффорда и спиноры
- 1.4 Математическое определение
- 1.5 Обзор
- 1.6 Геометрическая точка зрения на спиноры
- 1.7 Алгебра Клиффорда
- 1.8 Вращающиеся группы и спиноры
- 1.9 Спинорные поля в физике
- 1.10 Спиноры в теории представлений
- 1.11 Попытки интуитивного понимания
- 1.12 История спиноров
- 1.13 Примеры спиноров
- 1.14 Действие спиноров
- 1.15 Алгебраические подходы
- 1.16 Проблема преобразования векторного вращения в спинорное
- 1.17 Явные конструкции спиноров
- 1.18 Составные спиноры
- 1.19 Абстрактные спиноры
- 1.20 Построение внешней алгебры
- 1.21 Определение спиноров
- 1.22 Разложение Клебша–Гордана
- 1.23 Равномерные размеры
- 1.24 Нечетные размеры
- 1.25 Последствия
- 1.26 Примеры в малых размерах
- 1.27 Пространства-времена
- 1.28 Полный текст статьи:
- 2 Спинор
Спинор
-
Определение спиноров
- Спиноры — элементы векторного пространства, основанные на комплексных числах.
- Преобразуются линейно при вращении евклидова пространства, но меняют знак при повороте на 720°.
- Введены Эли Картаном в 1913 году, используются для описания спина электрона и других частиц.
-
Поведение спиноров при вращении
- Спиноры изменяются по-разному в зависимости от деталей поворота.
- Существует два топологически различимых класса путей, приводящих к одному повороту.
- Спиноры описываются двузначным проективным представлением группы вращения SO(3).
-
Алгебра Клиффорда и спиноры
- Алгебра Клиффорда — ассоциативная алгебра, построенная из евклидова пространства.
- Спиновая группа и её алгебра Ли встроены в алгебру Клиффорда.
- Спиноры — векторы-столбцы, на которые воздействуют гамма-матрицы.
-
Математическое определение
- Пространство спиноров — фундаментальное представление алгебры Клиффорда.
- Спиноры также определяются как спиновое представление ортогональной алгебры Ли.
- Спиноры — элементы конечномерного группового представления спиновой группы.
-
Обзор
- Существуют две основы для рассмотрения спиноров: теория представлений и геометрическая точка зрения.
- С точки зрения теории представлений, спиноры принадлежат представлению двойного покрытия группы вращения SO(n, R).
- Спиноры проявляются в группе спинов, которая дает двузначные проективные представления.
-
Геометрическая точка зрения на спиноры
- Спиноры можно явно построить и исследовать их поведение под действием групп Ли.
- Алгебры Клиффорда дают полную картину спиновых представлений и их взаимосвязей.
-
Алгебра Клиффорда
- Алгебра Клиффорда cℓ(V, g) порождается V и антикоммутационным соотношением.
- В случае V = Cn, cℓN(C) изоморфна алгебре Mat(2k, C).
- cℓ(V, g) имеет уникальное неприводимое представление Δ размерности 2[n/2].
-
Вращающиеся группы и спиноры
- Спиноры образуют векторное пространство, оснащенное линейным групповым представлением спиновой группы.
- Группа вращений не является односвязной, но спиновая группа является её двойным покрытием.
- Спиноры кодируют базовую информацию о топологии группы вращений.
-
Спинорные поля в физике
- Спиноры можно связать с векторными пространствами с квадратичной формой.
- В 4-мерном пространстве-времени спиноры описывают спиновую структуру.
- Уравнения Дирака и Вейля имеют решения, представляющие плоские волны с симметриями спиноров.
-
Спиноры в теории представлений
- Спиноры позволяют строить линейные представления алгебр Ли специальных ортогональных групп.
- Спиновые представления отличаются от тензорных весами, которые являются полуцелыми линейными комбинациями корней алгебры Ли.
-
Попытки интуитивного понимания
- Спиноры обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым числом n размеров.
- Спиноры трудно для понимания, их алгебра формально понятна, но общее значение остается загадочным.
-
История спиноров
- Спиноры были открыты Эли Картаном в 1913 году.
- Слово «спинор» введено Полом Эренфестом в 1927 году.
- Вольфганг Паули применил спиноры в математической физике в 1927 году.
- Поль Дирак открыл релятивистскую теорию спина в 1928 году.
- Спинорные пространства были представлены в виде левых идеалов матричной алгебры в 1930 году.
-
Примеры спиноров
- Спиноры возникают из четноградуированных подалгебр алгебры Клиффорда.
- В двух измерениях спиноры определяются как линейные комбинации 1 и σ1σ2.
- В трех измерениях спиноры являются кватернионами.
-
Действие спиноров
- Элементы с четной градацией воздействуют на спиноры по-разному.
- В двух измерениях спиноры вращаются на 45° при повороте вектора на 90°.
- В трех измерениях спиноры вращаются на 180° при повороте вектора на 360°.
-
Алгебраические подходы
- Спиноры могут быть представлены как минимальные левые идеалы алгебр Клиффорда.
- Спиноры используются в квантовой теории и компьютерной графике.
-
Проблема преобразования векторного вращения в спинорное
- Выражение (1) с (180° + θ/2) вместо θ/2 приводит к отрицательному значению спинорного вращения.
- Спинорно-кватернионное представление вращений становится популярным в компьютерной геометрии.
-
Явные конструкции спиноров
- Пространство спиноров можно построить явно с помощью конкретных и абстрактных конструкций.
- Эквивалентность конструкций следует из уникальности спинорного представления комплексной алгебры Клиффорда.
-
Составные спиноры
- Пространство спиноров определяется через ортонормированный базис и гамма-матрицы.
- В измерении 3 гамма-матрицы Паули приводят к двухкомпонентным спинорам.
- В общем случае можно использовать матрицы Вейля-Брауэра.
-
Абстрактные спиноры
- Существует два подхода к абстрактному определению спиноров: через минимальные идеалы и через внешнюю алгебру.
- Минимальные идеалы определяются через изотропное подпространство W и генератор ω.
- Внешняя алгебра определяется через изотропное подпространство W и действие алгебры Клиффорда.
-
Построение внешней алгебры
- Спинорное представление можно определить через внешнюю алгебру Λ∗ W изотропного подпространства W.
- Действие алгебры Клиффорда на спиноры определяется через разложение элементов V на W и W’.
- В четном случае спиноры разлагаются на полуспиновые представления.
- В нечетном случае спиноры также разлагаются на полуспиновые представления, но с добавлением единичного вектора u.
-
Определение спиноров
- Спиноры определяются как комплексные векторные пространства, расщепляющиеся на два изотропных подпространства.
- В эрмитовых векторных пространствах спиноры возникают из разложения комплексообразования.
-
Разложение Клебша–Гордана
- Разложение Клебша–Гордана выражает тензорное произведение представлений спина через чередующиеся представления ортогональной группы.
- Для вещественных ортогональных групп существуют символы σ+, σ− и σ, определяющие ориентацию.
-
Равномерные размеры
- В четных размерах тензорное произведение Δ с контрагредиентным представлением разлагается на Γp.
- В полуспиновых представлениях разложения аналогичны, но с использованием Γ2p.
-
Нечетные размеры
- В нечетных размерах тензорное произведение Δ с контрагредиентным представлением разлагается на Γ2p.
- В реальном случае изоморфизм Δ¯ ≅ σ−Δ∗.
-
Последствия
- Разложения Клебша–Гордана важны для теории электрона Дирака.
- Спиноры определяют амплитуду вероятности, электрический ток и вероятностный ток.
-
Примеры в малых размерах
- В 1 измерении спинорное представление является майорановским.
- В 2 измерениях спиноры Вейля являются комплексными числами.
- В 3 измерениях спинорное представление кватернионное.
- В 4 измерениях существуют два кватернионных спинора Вейля.
- В 5 измерениях спинорное представление кватернионное.
- В 6 измерениях существуют два комплексных спинора Вейля.
- В 7 измерениях спинорное представление вещественное.
- В 8 измерениях существуют два вещественных спинора Вейля-Майораны.
- В d + 8 измерениях спинорные представления имитируют структуру в d измерениях, но с размерами в 16 раз больше.
-
Пространства-времена
- В пространствах-временах с p пространственными и q временными направлениями спинорные представления имитируют структуру в |p − q| евклидовых измерениях.
- В 3 + 1 измерениях существуют два комплексных спинора Вейля и 2-компонентный спинор.