Оглавление
- 1 Теория представлений SU(2)
- 1.1 Теория представлений SU(2)
- 1.2 Алгебра Ли SU(2)
- 1.3 Веса и структура представления
- 1.4 Элемент Казимира
- 1.5 Представления группы
- 1.6 Символы и их роль в теории представлений
- 1.7 Символьная формула Вейля
- 1.8 Классификация представлений
- 1.9 Физические приложения
- 1.10 Другие подходы
- 1.11 Наиболее важные неприводимые представления
- 1.12 Дополнительные ресурсы
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Теория представлений SU(2)
Теория представлений SU(2)
-
Теория представлений SU(2)
- SU(2) является фундаментальной группой для изучения представлений полупростых групп Ли
- SU(2) является универсальной покрывающей группой SO(3)
- Представления SU(2) индексируются неотрицательным целым числом m и имеют размер m+1
-
Алгебра Ли SU(2)
- Представления определяются через алгебру Ли SU(2)
- Усложненная алгебра Ли SU(2) состоит из элементов X, Y и H
- Элементы X и Y действуют как операторы подъема и опускания
-
Веса и структура представления
- Собственные значения для H называются весами представления
- Для каждого m существует уникальное неприводимое представление с наибольшим весом m
- Представление с наибольшим весом m имеет размер m+1 и веса m, m-2, …, -m-2, -m
-
Элемент Казимира
- Введен элемент Казимира C, действующий как скалярное кратное идентичности
- Собственное значение C в представлении с наибольшим весом m вычисляется через применение C к наибольшему весовому вектору
-
Представления группы
- Каждое представление алгебры Ли SU(2) приводит к представлению самой SU(2)
- Групповые представления реализуются на пространствах многочленов от двух комплексных переменных
- Действие SU(2) на пространства многочленов задается через алгебру Ли
-
Символы и их роль в теории представлений
- Символы играют важную роль в теории представлений компактных групп
- Символы являются функциями класса и инвариантны относительно сопряжения
- В случае SU(2) символ определяется значением на максимальном торе T
-
Символьная формула Вейля
- Символ неприводимого представления с наибольшим весом m удовлетворяет формуле Вейля
- Формула Вейля упрощает выражение до конечного геометрического ряда
-
Классификация представлений
- Символьная формула Вейля и теорема Питера–Вейля помогают классифицировать представления
- В случае SU(2) все веса представления либо четные, либо нечетные
-
Физические приложения
- Четные веса соответствуют обычным представлениям SO(3)
- Нечетные веса соответствуют двузначному (спинорному) представлению SO(3)
- Представления с нечетными положительными m являются точными представлениями SU(2)
-
Другие подходы
- Пример теоремы Бореля–Вейля–Ботта
-
Наиболее важные неприводимые представления
- Представление с m = 1 (l = 1/2) описывает спин-1/2 и исторически связано с умножением кватернионов
- Представление с m = 2 (l = 1) описывает трехмерные вращения и используется для описания массивных частиц со спином 1
- Представление с m = 3 (l = 3/2) используется для определенных барионов, таких как Δ
-
Дополнительные ресурсы
- Оператор вращения (векторное пространство)
- Оператор вращения (квантовая механика)
- Теория представлений SO(3)
- Соединение между SO(3) и SU(2)
- Теория представлений SL2(R)
- Электрослабое взаимодействие
- Группа вращения SO(3) § Примечание по алгебрам Ли