Оглавление [Скрыть]
Тип и котип банахова пространства
-
Определение типа и котипа Банахова пространства
- Тип и котип Банахова пространства классифицируют банаховы пространства с помощью теории вероятностей.
- Тип и котип измеряют расстояние от банахова пространства до Гильбертова пространства.
- Отправной точкой является тождество Пифагора для ортогональных векторов в гильбертовых пространствах.
-
Понятие типа и котипа
- Тип и котип введены французским математиком Жан-Пьером Кахане.
- Тип p и котип q определяются через конечные константы C и Tp(X), Cq(X).
- Тип p и котип q зависят от p и q, соответственно.
-
Свойства типа и котипа
- Каждое банахово пространство имеет тип 1.
- Банахово пространство имеет тип 2 и котип 2 тогда и только тогда, когда оно изоморфно гильбертову пространству.
- Если банахово пространство относится к типу p, то оно также относится к типу p’ ∈ [1, p].
- Если банахово пространство относится к котипу q, то оно также относится к котипу q’ ∈ [q, ∞].
- Если банахово пространство относится к типу p для 1 < p ≤ 2, то его двойственное пространство относится к котипу p’ с p’ := (1 – 1/p) -1.
-
Примеры
- Lp пространства для p ∈ [1, 2] относятся к типу p и котипу 2.
- Lp пространства для p ∈ [2, ∞) относятся к типу 2 и котипу p.
- L∞ пространство относится к типу 1 и котипу ∞.