Точечный процесс Пуассона
-
Определение и свойства пуассоновского точечного процесса
- Пуассоновский точечный процесс состоит из точек, случайно расположенных в математическом пространстве.
- Точки встречаются независимо друг от друга, что делает процесс чисто случайным.
- Количество точек в конечной области соответствует распределению Пуассона.
-
История и применение
- Процесс был обнаружен независимо в различных условиях, включая радиоактивный распад и телефонные звонки.
- Используется в астрономии, биологии, экологии, геологии, сейсмологии, физике, экономике, обработке изображений и телекоммуникациях.
- Применяется в теории массового обслуживания, пространственных точечных процессах, стохастической геометрии и теории перколяции.
-
Однородный и неоднородный пуассоновский точечный процесс
- Однородный процесс имеет постоянную скорость или интенсивность.
- Неоднородный процесс имеет изменяющуюся скорость или интенсивность.
- Оба процесса являются частными случаями обобщенного процесса обновления.
-
Распределение Пуассона
- Распределение Пуассона задается формулой, где параметр Λ определяет форму распределения.
- Количество точек в ограниченной области является распределенной по Пуассону случайной величиной.
-
Полная независимость
- Количество точек в каждой ограниченной подобласти полностью независимо от всех остальных.
- Это свойство называется полной случайностью, полной независимостью или независимым рассеянием.
-
Интерпретация как процесс подсчета
- Однородный пуассоновский процесс на положительной полупрямой может быть определен как процесс подсчета.
- Процесс подсчета имеет независимые приращения и случайную величину Пуассона с параметром λt.
-
Интерпретация как точечный процесс на реальной прямой
- Однородный пуассоновский процесс на реальной прямой имеет распределение Пуассона с параметром λ(b-a).
- Количество точек в непересекающихся интервалах является независимыми случайными величинами.
-
Распределение Пуассона
- Зависит только от длины интервала
- Стационарный пуассоновский процесс
-
Закон больших чисел
- Ожидаемое количество точек в интервале
- Параметр λ совпадает с плотностью точек
-
Свойство без памяти
- Расстояние между точками экспоненциально
- Отсутствие памяти в одномерном случае
-
Упорядоченность и простота
- Упорядоченный процесс
- Простой процесс
-
Характеристика мартингейла
- Однородный пуассоновский процесс является мартингейлом
-
Связь с другими процессами
- Пуассоновский процесс как частный случай процесса рождения-смерти
- Обобщения на более сложные процессы
-
Ограничения и приложения
- Ограничение на полупрямой
- Приложения в теории массового обслуживания
-
Обобщения
- Процесс обновления
- Пространственный пуассоновский процесс
-
Пространственный пуассоновский процесс
- Определен на плоскости
- Конечномерное распределение
-
Приложения в пространственной статистике
- Моделирование сетей беспроводной связи
-
Однородный пуассоновский процесс в более высоких измерениях
- Распределен равномерно
- Неоднородный пуассоновский процесс
-
Неоднородный пуассоновский процесс
- Определяется функцией интенсивности λ(x)
- Имеет конечномерное распределение
- Интерпретируется как ожидаемое число точек в ограниченной области B
-
Одномерный случай
- На реальной прямой имеет среднюю меру, определяемую одномерным интегралом
- Вероятность нахождения n точек в интервале (a, b] задается функцией λ(t)
- Случайная величина N(a, b] является случайной величиной Пуассона со средним значением Λ(a, b)
-
Процесс счета
- Неоднородный пуассоновский процесс на положительной полупрямой называется процессом счета
- Обладает четырьмя свойствами: N(0) = 0, независимые приращения, Пиар{N(t+h)−N(t)=1} = λ(t)h+o(h), Пиар{N(t+h)−N(t)≥2} = o(h)
-
Пространственный пуассоновский процесс
- Определяется на плоскости R2 с помощью функции интенсивности
- Мера интенсивности задается поверхностным интегралом
- В более высоких измерениях интеграл становится объемным
-
Приложения
- Используется в процессах подсчета и теории массового обслуживания
- Примеры: голы в футболе, дефекты печатной платы
- Важен в стохастической геометрии и пространственной статистике
-
Интерпретация функции интенсивности
- λ(x)d x — вероятность существования точки в области пространства с объемом dx
- Вероятность нахождения единственной точки на интервале δ ≈ λδ
-
Простой точечный процесс
- Мера интенсивности локально конечна и диффузна
- Вероятность существования точки в одной точке равна либо нулю, либо единице
-
Моделирование
- Моделирование выполняется в ограниченной области пространства
- Шаг 1: создание случайного числа точек
- Шаг 2: случайное размещение точек
-
Общий пуассоновский точечный процесс
- Обобщение точечного процесса Пуассона с использованием меры Радона Λ
-
Определение пуассоновского точечного процесса
- Пуассоновский точечный процесс может быть атомарным или диффузным.
- В атомарном случае количество точек в одном месте является случайной величиной Пуассона.
- В диффузном случае интенсивность процесса является диффузной или неатомарной.
-
Свойства пуассоновского точечного процесса
- Количество точек в ограниченном борелевском множестве является случайной величиной Пуассона.
- Вероятность случайной величины N(B) быть равной n задается через интенсивность процесса.
- Если интенсивность процесса абсолютно непрерывна, она может быть записана через плотность.
-
История и терминология
- Пуассоновский точечный процесс не был открыт Пуассоном, но назван в его честь.
- Термин «пуассоновский процесс» впервые использован в 1940 году Уильямом Феллером.
- Терминология теории точечных процессов подвергалась критике за разнообразие.
-
Применение и исследования
- Пуассоновский процесс используется в различных областях, включая биологию, экологию, инженерию и физику.
- В 1922 году Теодор Сведберг предложил модель для изучения распределения растений.
- В 1930-х годах Андрей Колмогоров, Уильям Феллер и Александр Хинчин внесли важный вклад в изучение процесса.
-
Современные термины и обозначения
- Термин «точечный процесс» подвергся критике за указание на изменение во времени и пространстве.
- Мера интенсивности процесса называется мерой среднего значения или мерой параметра.
- Функция интенсивности процесса называется производной от меры интенсивности.
-
Обозначения точечных процессов Пуассона
- Обозначения зависят от настройки и области применения.
- На реальной прямой используется обозначение {N(t), t ≥ 0}.
- В теории точечных процессов используются обозначения из теории меры и теории множеств.
-
Функциональные элементы и измерения моментов
- Функционалы Лапласа и генерации вероятности используются для характеристики точечных процессов.
- Функционал Лапласа задается формулой для точечного процесса Пуассона.
- Функционал генерации вероятности определяется для неотрицательных ограниченных функций.
-
Измерение момента
- Первый момент точечного процесса Пуассона — его интенсивность.
- Для однородного процесса интенсивность равна λ.
-
Уравнение Мекке
- Уравнение Мекке характеризует точечный процесс Пуассона.
- Процесс является точечным пуассоновским процессом, если для всех измеримых функций выполняется определенное условие.
-
Факторная мера момента
- n-мера факторного момента задается выражением для точечного процесса Пуассона.
- Для однородного процесса мера факторного момента проста.
-
Функция избегания
- Функция избегания определяется как вероятность отсутствия точек в заданном множестве.
- Для точечного процесса Пуассона функция избегания задается формулой.
-
Теорема Реньи
- Простые точечные процессы полностью характеризуются их ничтожными вероятностями.
- Теорема Реньи утверждает, что для диффузной меры Радона и конечного объединения прямоугольников, если N является счетным подмножеством Rd, то N представляет собой точечный пуассоновский процесс.
-
Операции точечного процесса
- Математические операции могут выполняться над точечными процессами для получения новых процессов.
- Истончение пуассоновского процесса приводит к новому пуассоновскому процессу с измененной интенсивностью.
-
Независимость пуассоновских точечных процессов
- Два пуассоновских точечных процесса, сформированных из удаленной и сохраненной точек, стохастически независимы.
- Это свойство называется расщеплением пуассоновского точечного процесса.
-
Суперпозиция пуассоновских точечных процессов
- Объединение двух или более пуассоновских процессов также является пуассоновским процессом.
- Теорема о суперпозиции утверждает, что суперпозиция независимых пуассоновских процессов также является пуассоновским процессом.
-
Кластеризация пуассоновских точечных процессов
- Операция кластеризации заменяет каждую точку пуассоновского процесса другим точечным процессом.
- Результирующий процесс называется пуассоновским кластерным точечным процессом.
-
Случайное перемещение пуассоновских точечных процессов
- Случайное перемещение точек пуассоновского процесса формирует новый пуассоновский процесс.
- Теорема о перемещении утверждает, что после каждого случайного перемещения исходный пуассоновский процесс все еще существует.
-
Отображение пуассоновских точечных процессов
- Отображение пуассоновского процесса из одного пространства в другое также формирует пуассоновский процесс.
- Теорема о отображении утверждает, что результирующий процесс имеет другую среднюю меру.
-
Аппроксимации с использованием пуассоновских точечных процессов
- Пуассоновские процессы могут использоваться для аппроксимации непуассоновских процессов.
- Методы аппроксимации включают эвристику сгущения и метод Штейна.
-
Сходимость к пуассоновскому точечному процессу
- При определенных условиях операции над точечными процессами могут привести к сходимости к пуассоновским процессам.
- Уравнения Палма–Хинчина помогают объяснить, почему пуассоновский процесс часто используется в качестве модели случайных явлений.
-
Обобщения пуассоновских точечных процессов
- Пуассоновский процесс можно обобщить, изменив меру интенсивности или определив в более общих математических пространствах.
-
Случайные меры пуассоновского типа
- Семейство из трех случайных счетных мер
- Замкнуты ограничением на подпространство
- Включают распределение Пуассона, отрицательное биномиальное и биномиальное распределения
- Обладают свойством самоподобия распределения
-
Точечные процессы Пуассона в более общих пространствах
- Определяются в евклидовом пространстве
- Обобщены на более абстрактные пространства
- Важны для изучения случайных измерений
- Реализуются как меры случайного счета
-
Процесс в точке Кокса
- Обобщение точечного процесса Пуассона
- Интенсивность процесса может быть случайной
- Используется в пространственной статистике и беспроводных сетях
-
Процесс с отмеченной точкой Пуассона
- Каждой точке процесса присваивается случайная метка
- Метки могут быть целыми числами, вещественными числами, линиями и т.д.
- Отмеченный точечный процесс определяется в декартовом произведении пространств
-
Теорема о маркировке
- Утверждает, что отмеченный пуассоновский процесс является пуассоновским процессом
- Не относится к общим точечным процессам
-
Сложный пуассоновский точечный процесс
- Формируется путем добавления случайных значений к точкам пуассоновского процесса
- Каждая точка имеет независимую и одинаково распределенную случайную величину
- Пример процесса Леви при определенных условиях
-
Процесс разрушения с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности
- Продолжение неоднородного пуассоновского процесса
- Функция интенсивности представляет собой экспоненциальное сглаживание
- Превосходит другие случайные процессы на реальных наборах данных