Оглавление
- 1 Точная последовательность
- 1.1 Определение точной последовательности
- 1.2 Простые случаи
- 1.3 Короткая точная последовательность
- 1.4 Длинная точная последовательность
- 1.5 Примеры
- 1.6 Свойства
- 1.7 Точные последовательности в теории абелевых категорий
- 1.8 Композиция и гомология
- 1.9 Длинные точные последовательности
- 1.10 Точные функторы
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Точная последовательность
Точная последовательность
-
Определение точной последовательности
- Последовательность морфизмов между объектами, где образ одного морфизма равен ядру следующего.
- В теории групп: im(f_i) = ker(f_{i+1}) для всех i.
- Последовательность называется точной, если она точна в каждом объекте.
-
Простые случаи
- Последовательность 0 → A → B точна, если f_2 является мономорфизмом.
- Последовательность B → C → 0 точна, если f_1 является эпиморфизмом.
- Последовательность 0 → X → Y → 0 точна, если отображение от X к Y является биморфизмом.
-
Короткая точная последовательность
- Последовательность f → g → h, где f мономорфизм, g эпиморфизм, h тождественное отображение на C.
- B изоморфна прямой сумме A и C.
-
Длинная точная последовательность
- Последовательность A_0 → f_1 A_1 → f_2 A_2 → f_3 ⋯ → f_n A_n, где f_i мономорфизм.
- Последовательность эквивалентна семейству коротких точных последовательностей.
-
Примеры
- Целые числа по модулю два: 2Z → Z → Z/2Z.
- Пересечение и сумма модулей: I ∩ J → I ⊕ J → I + J.
-
Свойства
- Лемма о расщеплении: существует морфизм t : B → A, такой, что t ∈ f – тождество на A.
- Лемма о змее: коммутативная диаграмма с двумя точными строками приводит к более длинной точной последовательности.
- Лемма о плетении: каждая точная последовательность является результатом “переплетения” коротких точных последовательностей.
-
Точные последовательности в теории абелевых категорий
- Короткие точные последовательности используются для описания подобъектов и факторных объектов
- Проблема расширения заключается в определении возможностей для среднего члена B
- В категории групп это эквивалентно вопросу о нормальных подгруппах и факторных группах
-
Композиция и гомология
- Композиция fi+1 ∘ fi отображает Ai на 0 в Ai+2
- Только fi-изображения элементов Ai сопоставляются с 0 через fi + 1
- Гомология цепного комплекса тривиальна
-
Длинные точные последовательности
- Из коротких точных последовательностей можно вывести длинную точную последовательность о гомологии
- Лемма о зигзаге используется для вывода длинных точных последовательностей
- Длинные точные последовательности характерны для производных функторов
-
Точные функторы
- Функторы, преобразующие точные последовательности в точные последовательности