Точная последовательность

Оглавление1 Точная последовательность1.1 Определение точной последовательности1.2 Простые случаи1.3 Короткая точная последовательность1.4 Длинная точная последовательность1.5 Примеры1.6 Свойства1.7 Точные последовательности в теории […]

Точная последовательность

  • Определение точной последовательности

    • Последовательность морфизмов между объектами, где образ одного морфизма равен ядру следующего.  
    • В теории групп: im(f_i) = ker(f_{i+1}) для всех i.  
    • Последовательность называется точной, если она точна в каждом объекте.  
  • Простые случаи

    • Последовательность 0 → A → B точна, если f_2 является мономорфизмом.  
    • Последовательность B → C → 0 точна, если f_1 является эпиморфизмом.  
    • Последовательность 0 → X → Y → 0 точна, если отображение от X к Y является биморфизмом.  
  • Короткая точная последовательность

    • Последовательность f → g → h, где f мономорфизм, g эпиморфизм, h тождественное отображение на C.  
    • B изоморфна прямой сумме A и C.  
  • Длинная точная последовательность

    • Последовательность A_0 → f_1 A_1 → f_2 A_2 → f_3 ⋯ → f_n A_n, где f_i мономорфизм.  
    • Последовательность эквивалентна семейству коротких точных последовательностей.  
  • Примеры

    • Целые числа по модулю два: 2Z → Z → Z/2Z.  
    • Пересечение и сумма модулей: I ∩ J → I ⊕ J → I + J.  
  • Свойства

    • Лемма о расщеплении: существует морфизм t : B → A, такой, что t ∈ f – тождество на A.  
    • Лемма о змее: коммутативная диаграмма с двумя точными строками приводит к более длинной точной последовательности.  
    • Лемма о плетении: каждая точная последовательность является результатом “переплетения” коротких точных последовательностей.  
  • Точные последовательности в теории абелевых категорий

    • Короткие точные последовательности используются для описания подобъектов и факторных объектов  
    • Проблема расширения заключается в определении возможностей для среднего члена B  
    • В категории групп это эквивалентно вопросу о нормальных подгруппах и факторных группах  
  • Композиция и гомология

    • Композиция fi+1 ∘ fi отображает Ai на 0 в Ai+2  
    • Только fi-изображения элементов Ai сопоставляются с 0 через fi + 1  
    • Гомология цепного комплекса тривиальна  
  • Длинные точные последовательности

    • Из коротких точных последовательностей можно вывести длинную точную последовательность о гомологии  
    • Лемма о зигзаге используется для вывода длинных точных последовательностей  
    • Длинные точные последовательности характерны для производных функторов  
  • Точные функторы

    • Функторы, преобразующие точные последовательности в точные последовательности  

Полный текст статьи:

Точная последовательность

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх