Оглавление
- 1 Топологии на пространствах линейных отображений
- 1.1 Топологии в пространствах линейных отображений
- 1.2 Основные определения
- 1.3 Топология равномерной сходимости
- 1.4 Свойства топологии
- 1.5 Однородная структура
- 1.6 Сети и равномерная сходимость
- 1.7 Унаследованные свойства
- 1.8 Определение G-топологии
- 1.9 Примеры G-топологий
- 1.10 G-топологии на пространствах непрерывных линейных отображений
- 1.11 Предположения и свойства
- 1.12 Локально выпуклые хаусдорфовы пространства
- 1.13 Примеры топологий
- 1.14 Полярные топологии
- 1.15 Топологии на пространствах билинейных отображений
- 1.16 Топологизация B(X, Y; Z)
- 1.17 ε-топология
- 1.18 Свойства Bϵ(X, Y; Z)
- 1.19 Дополнительные понятия
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Топологии на пространствах линейных отображений – Википедия
Топологии на пространствах линейных отображений
-
Топологии в пространствах линейных отображений
- Пространства линейных отображений могут быть наделены различными топологиями.
- Изучение топологий помогает понять сами пространства.
-
Основные определения
- T — любое непустое множество.
- G — набор подмножеств T, управляемый включением.
- Y — топологическое векторное пространство.
- N — основа окрестностей 0 в Y.
- F — векторное подпространство Y^T.
-
Топология равномерной сходимости
- U(G, N) — множество функций f из F, таких что f(G) ⊆ N.
- U(G, N) образует основу соседства в начале координат для уникальной топологии на F.
- Топология не зависит от базиса окрестностей N.
-
Свойства топологии
- U(G, N) поглощает F тогда и только тогда, когда N поглощает f(G) для всех f из F.
- U(G, N) сбалансировано, если N сбалансировано.
- U(∅, N) = F всегда.
- U(G, N) + U(G, M) ⊆ U(G, M + N).
- U(G ∪ H, M ∩ N) ⊆ U(G, M) ∩ U(H, N).
- U(K, M ∩ N) ⊆ U(G, M) ∩ U(H, N), если G ∪ H ⊆ K.
- U(⋃S∈S S, N) = ⋂S∈S U(S, N).
- U(G, ⋂M∈M M) = ⋂M∈M U(G, M).
-
Однородная структура
- W(G, U) — множество пар (u, v) из Y^T, таких что (u(g), v(g)) ∈ U для каждого g ∈ G.
- W(G, U) формирует фундаментальную систему окружения для однородной структуры на Y^T.
-
Сети и равномерная сходимость
- f∙ равномерно сходится к f на G, если для каждого N ∈ N существует i0 ∈ I такой, что для каждого i ≥ i0, f(i) − f(g) ∈ U(G, N).
- f∙ → f в G-топологии на F тогда и только тогда, когда f∙ равномерно сходится к f на каждом G ∈ G.
-
Унаследованные свойства
- Если Y локально выпукло, то G-топология на F индуцируется семейством полунорм pG,i(f) = supx∈Gp(f(x)).
- Если Y Хаусдорф и T = ⋃G∈G G, то G-топология на F Хаусдорф.
-
Определение G-топологии
- G-топология на F определяется как топология, наследуемая от Y^T, где Y — топологическое векторное пространство, а T — топологическое пространство.
- G-топология называется Хаусдорфовой, если Y является Хаусдорфовым и G тотально в T.
-
Примеры G-топологий
- Поточечная сходимость: G-топология на F, где G — множество всех конечных подмножеств T, называется топологией поточечной сходимости.
- Топология поточечной сходимости на C(X) поддается метризации, если X является счетным.
-
G-топологии на пространствах непрерывных линейных отображений
- L(X;Y) — векторное пространство всех непрерывных линейных отображений из X в Y.
- G-топология на L(X;Y) совместима со структурой векторного пространства, если для всех G ∈ G и всех f ∈ L(X;Y) набор f(G) ограничен в Y.
-
Предположения и свойства
- G-топология не изменяется при замене G на различные подмножества.
- G-топология является Хаусдорфовой, если Y является Хаусдорфовым и G тотально в T.
- Полнота: L(X;Y) является полным, если X и Y локально выпуклы и хаусдорфовы, а G удовлетворяет определенным условиям.
- Ограниченность: H ограничен в L(X;Y), если для каждого G ∈ G и каждого V в Y набор ⋂h∈H h^-1(V) поглощает каждый G.
-
Локально выпуклые хаусдорфовы пространства
- Если H ограничен в Lσ(X;Y), то он ограничен в топологии равномерной сходимости на выпуклых, сбалансированных, ограниченных, полных подмножествах X.
- Если X является квазиполным, ограниченные подмножества L(X;Y) одинаковы для всех G-топологий, где G — любое семейство ограниченных подмножеств X, покрывающих X.
-
Примеры топологий
- Топология поточечной сходимости: Lσ(X;Y) — слабая топология на L(X;Y), метризуемая на равнопрерывных подмножествах.
- Топология компактной сходимости: Lc(X;Y) — топология равномерной сходимости на компактных множествах, завершенная на пространствах Фреше и полных локально выпуклых хаусдорфовых пространствах.
- Топология ограниченной сходимости: Lb(X;Y) — топология равномерной сходимости на ограниченных множествах, завершенная на борнологических пространствах.
-
Полярные топологии
- Если X — TVS, ограниченные подмножества которого совпадают с его слабо ограниченными подмножествами, то G-топология на X’ является полярной топологией.
- Полярные топологии всегда локально выпуклы, в отличие от G-топологий.
-
Топологии на пространствах билинейных отображений
- B(X,Y;Z) — пространство отдельно непрерывных билинейных отображений, B(X,Y;Z) — пространство непрерывных билинейных отображений.
- G-H-топология — топология равномерной конвергенции продуктов G × H от G × H.
- Эта топология не обязательно совместима со структурой векторного пространства без дополнительного требования.
-
Топологизация B(X, Y; Z)
- Если G и H состоят из ограниченных множеств, топологизация B(X, Y; Z) возможна.
- Если X и Y замкнуты, а Z локально выпукло, топологизация возможна.
- Если X F-пространство, Y метризуемо, а Z Хаусдорф, топологизация возможна.
- Если X, Y и Z сильные двойники рефлексивных пространств Фреше, топологизация возможна.
- Если X нормировано, Y и Z сильные дуальности рефлексивных пространств Фреше, топологизация возможна.
-
ε-топология
- Если X, Y и Z локально выпуклы, G’ и H’ равнопрерывны, топологизация возможна.
- B(X, Y; Z) при такой топологии обозначается Bϵ(X, Y; Z).
- Bϵ(X, Y; Z) содержит множество подпространств, таких как B(Xσ, Yσ; Z).
-
Свойства Bϵ(X, Y; Z)
- Bϵ(X, Y; Z) является полным, если X и Y полные.
- Если X и Y нормированы, Bϵ(X, Y; Z) является банаховым.
-
Дополнительные понятия
- Борнологическое пространство: пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
- Ограниченный линейный оператор: линейное преобразование между топологическими векторными пространствами.
- Двойная система: топологическое пространство с двойственным пространством.
- Двойная топология: топология двойного пространства с равномерной сходимостью.
- Режимы сходимости: свойство последовательности или ряда.
- Операторная норма: мера “размера” линейных операторов.
- Полярная топология: топология двойного пространства с равномерной сходимостью на ограниченных подмножествах.
- Сильное двойственное пространство: непрерывное двойственное пространство с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
- Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве.
- Равномерная сходимость: режим сходимости последовательности функций.
- Однородное пространство: топологическое пространство с понятием однородных свойств.
- Расплывчатая топология: топология с размытыми множествами.