Оглавление
- 1 Trigonometric functions
- 1.1 История и использование
- 1.2 Основные функции
- 1.3 Исторические определения
- 1.4 Нотация
- 1.5 Определения в прямоугольных треугольниках
- 1.6 Радиан и градусы
- 1.7 Определения через единичный круг
- 1.8 Периодичность тригонометрических функций
- 1.9 Алгебраические выражения
- 1.10 Определение в анализе
- 1.11 Дифференциальные уравнения
- 1.12 Степенные ряды
- 1.13 Бесконечные произведения
- 1.14 Интегралы
- 1.15 Определение тригонометрических функций
- 1.16 Периодичность и асимптоты
- 1.17 Основные идентичности
- 1.18 Комплексные графики
- 1.19 Выражение тригонометрических функций через рациональные дроби
- 1.20 Обратные функции
- 1.21 Приложения в геометрии
- 1.22 Периодические функции в физике
- 1.23 История тригонометрии
- 1.24 Этимология
- 1.25 Происхождение тригонометрических терминов
- 1.26 История и развитие тригонометрии
- 1.27 Рекомендации и источники
- 1.28 Внешние ссылки
- 1.29 Полный текст статьи:
- 2 Тригонометрические функции – Arc.Ask3.Ru
Trigonometric functions
-
История и использование
- Тригонометрические функции связаны с углами прямоугольного треугольника и отношениями сторон.
- Используются в навигации, механике, астрономии и геодезии.
- Являются простейшими периодическими функциями и применяются в анализе Фурье.
-
Основные функции
- Наиболее часто используются синус, косинус и тангенс.
- Их обратные функции: косеканс, секанс и котангенс.
- Каждая функция имеет соответствующую обратную и аналог среди гиперболических функций.
-
Исторические определения
- Определены для острых углов в прямоугольных треугольниках.
- Современные определения используют бесконечные ряды или дифференциальные уравнения.
-
Нотация
- Используются аббревиатуры: sin, cos, tan, sec, csc, cot.
- Исторически использовались для обозначения отрезков и длин, позже стали функциями.
- Положительное число в степени обозначает возведение в степень, а не композицию функций.
- Отрицательное число в степени обозначает обратную функцию.
-
Определения в прямоугольных треугольниках
- Тригонометрические функции определяются через отношения сторон прямоугольного треугольника.
- Используются различные мнемоники для запоминания определений.
-
Радиан и градусы
- В геометрии используются градусы, но в анализе предпочтительны радианы.
- Радиан — длина дуги единичного круга, 1 рад ≈ 57.3°.
- В радианах аргумент x = (180x/π)°.
-
Определения через единичный круг
- Тригонометрические функции определяются как координаты точек на единичном круге.
- Определения через единичный круг позволяют расширить область значений функций.
- Координаты точек на единичном круге дают значения функций для любого угла.
-
Периодичность тригонометрических функций
- Тригонометрические функции периодичны с периодом 2π.
- Для углов, кратных 2π, функции возвращаются в исходное положение.
- Для углов, кратных π, функции возвращаются в исходное положение после поворота на π.
-
Алгебраические выражения
- Для углов, кратных 3, функции могут быть выражены через квадратные корни.
- Для углов, кратных рациональному числу, функции могут быть выражены через n-ные корни.
- Для углов, не кратных рациональному числу, функции могут быть трансцендентными.
-
Определение в анализе
- Определение через единичный круг не удовлетворяет современным требованиям.
- Используются различные методы: геометрия, степенные ряды, бесконечные произведения, интегралы, дифференциальные уравнения.
-
Дифференциальные уравнения
- Синус и косинус определяются как решения дифференциальных уравнений.
- Тангенс определяется через отношение синуса к косинусу.
-
Степенные ряды
- Основные тригонометрические функции определяются через степенные ряды.
- Радиус сходимости этих рядов бесконечен, что позволяет определить функции как целые.
-
Бесконечные произведения
- Синус определяется через бесконечное произведение.
- Это произведение важно в комплексном анализе.
-
Интегралы
- Тригонометрические функции могут быть определены через интегралы.
- Это определение также важно в комплексном анализе.
-
Определение тригонометрических функций
- Тригонометрические функции определяются через интеграл от арктангенса.
- Функции синуса и косинуса определяются через арктангенс и его производные.
- Функции тангенса и котангенса определяются через арктангенс и его производные, но имеют другие периоды.
-
Периодичность и асимптоты
- Функции синуса и косинуса периодичны с периодом 2π.
- Функции тангенса и котангенса имеют период π.
- Функции имеют простые нули и полюса, кратные π или π/2.
-
Основные идентичности
- Косинус и секущая являются четными функциями, остальные тригонометрические функции — нечетными.
- Тождество Пифагора связывает тригонометрические функции через косинус и синус.
- Формулы суммирования и разности позволяют разложить тригонометрические функции на суммы и разности углов.
-
Комплексные графики
- Тригонометрические функции могут быть представлены в комплексной плоскости.
- Графики показывают особенности функций, такие как нули и полюса.
- Функции могут быть выражены через гиперболические функции.
-
Выражение тригонометрических функций через рациональные дроби
- Замена тангенса на половину угла упрощает вычисление интегралов и первообразных.
- Производные тригонометрических функций выводятся из производных синуса и косинуса.
-
Обратные функции
- Тригонометрические функции не являются инъективными, но на каждом интервале монотонности можно определить обратную функцию.
- Обратные функции обозначаются префиксом “arc”.
-
Приложения в геометрии
- Закон синусов и косинусов используются для вычисления длин сторон и углов треугольника.
- Закон касательных и котангенсов применяются для нахождения сторон и углов треугольника.
-
Периодические функции в физике
- Тригонометрические функции используются для описания гармонического движения и периодических функций.
- Периодические функции могут быть выражены через ряды Фурье.
-
История тригонометрии
- Тригонометрические функции были разработаны в средневековье.
- Функции синуса и косинуса восходят к индийской астрономии.
- Все шесть современных тригонометрических функций были известны в исламской математике к 9 веку.
- Функция тангенса была введена в Европе в 1467 году.
- Термины касательная и секущая были введены в 1583 году.
- Эйлер представил формулу Эйлера и современные сокращения.
-
Этимология
- Слово sine происходит от латинского sinus, означающего “изгиб; бухта”.
-
Происхождение тригонометрических терминов
- Арабская форма j-y-b возникла как транслитерация с санскрита jīvā, что означает “тетива лука”.
- Латинское слово tangens означает “касающийся”, а secans — “разрезающий”.
- Приставка “со-” в “косинусе”, “котангенсе”, “косекансе” встречается в “Каноне треугольника” Эдмунда Гюнтера.
-
История и развитие тригонометрии
- Формула синусоидальной аппроксимации Бхаскары I.
- Приближение под малым углом.
- Дифференцирование тригонометрических функций.
- Обобщенная тригонометрия.
- Создание тригонометрических таблиц.
- Список интегралов тригонометрических функций.
- Список периодических функций.
- Полярный синус — обобщение на вершинные углы.
-
Рекомендации и источники
- Ларс Альфорс, “Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной”.
- Карл Б. Бойер, “История математики”.
- Шмуэль Гал и Борис Бачелис, “Точная элементарная математическая библиотека для стандарта IEEE с плавающей запятой”.
- Джордж Г. Джозеф, “Гребень павлина: неевропейские корни математики”.
- Витит Кантабутра, “Об аппаратном обеспечении для вычисления экспоненциальных и тригонометрических функций”.
- Эли Маор, “Тригонометрические изыски”.
- Тристан Нидэм, “Предисловие” к визуальному комплексному анализу.
- Дж. Джей О’Коннор и Э. F. Робертсон, “Тригонометрические функции”.
- Ян Г. Пирс, “Мадхава из Сангамаграммы”.
- Эрик У. Вайсштейн, “Тангенс” из MathWorld.
-
Внешние ссылки
- Обучающий модуль Visionlearning по волновой математике.
- GonioLab Визуализирует единичную окружность, тригонометрические и гиперболические функции.
- Статья q-Sine о q-аналоге sin в MathWorld.
- Статья о q-косинусе, посвященная q-аналогу cos в MathWorld.