Тригонометрические функции – Arc.Ask3.Ru

Оглавление1 Trigonometric functions1.1 История и использование1.2 Основные функции1.3 Исторические определения1.4 Нотация1.5 Определения в прямоугольных треугольниках1.6 Радиан и градусы1.7 Определения через […]

Оглавление

Trigonometric functions

  • История и использование

    • Тригонометрические функции связаны с углами прямоугольного треугольника и отношениями сторон.  
    • Используются в навигации, механике, астрономии и геодезии.  
    • Являются простейшими периодическими функциями и применяются в анализе Фурье.  
  • Основные функции

    • Наиболее часто используются синус, косинус и тангенс.  
    • Их обратные функции: косеканс, секанс и котангенс.  
    • Каждая функция имеет соответствующую обратную и аналог среди гиперболических функций.  
  • Исторические определения

    • Определены для острых углов в прямоугольных треугольниках.  
    • Современные определения используют бесконечные ряды или дифференциальные уравнения.  
  • Нотация

    • Используются аббревиатуры: sin, cos, tan, sec, csc, cot.  
    • Исторически использовались для обозначения отрезков и длин, позже стали функциями.  
    • Положительное число в степени обозначает возведение в степень, а не композицию функций.  
    • Отрицательное число в степени обозначает обратную функцию.  
  • Определения в прямоугольных треугольниках

    • Тригонометрические функции определяются через отношения сторон прямоугольного треугольника.  
    • Используются различные мнемоники для запоминания определений.  
  • Радиан и градусы

    • В геометрии используются градусы, но в анализе предпочтительны радианы.  
    • Радиан — длина дуги единичного круга, 1 рад ≈ 57.3°.  
    • В радианах аргумент x = (180x/π)°.  
  • Определения через единичный круг

    • Тригонометрические функции определяются как координаты точек на единичном круге.  
    • Определения через единичный круг позволяют расширить область значений функций.  
    • Координаты точек на единичном круге дают значения функций для любого угла.  
  • Периодичность тригонометрических функций

    • Тригонометрические функции периодичны с периодом 2π.  
    • Для углов, кратных 2π, функции возвращаются в исходное положение.  
    • Для углов, кратных π, функции возвращаются в исходное положение после поворота на π.  
  • Алгебраические выражения

    • Для углов, кратных 3, функции могут быть выражены через квадратные корни.  
    • Для углов, кратных рациональному числу, функции могут быть выражены через n-ные корни.  
    • Для углов, не кратных рациональному числу, функции могут быть трансцендентными.  
  • Определение в анализе

    • Определение через единичный круг не удовлетворяет современным требованиям.  
    • Используются различные методы: геометрия, степенные ряды, бесконечные произведения, интегралы, дифференциальные уравнения.  
  • Дифференциальные уравнения

    • Синус и косинус определяются как решения дифференциальных уравнений.  
    • Тангенс определяется через отношение синуса к косинусу.  
  • Степенные ряды

    • Основные тригонометрические функции определяются через степенные ряды.  
    • Радиус сходимости этих рядов бесконечен, что позволяет определить функции как целые.  
  • Бесконечные произведения

    • Синус определяется через бесконечное произведение.  
    • Это произведение важно в комплексном анализе.  
  • Интегралы

    • Тригонометрические функции могут быть определены через интегралы.  
    • Это определение также важно в комплексном анализе.  
  • Определение тригонометрических функций

    • Тригонометрические функции определяются через интеграл от арктангенса.  
    • Функции синуса и косинуса определяются через арктангенс и его производные.  
    • Функции тангенса и котангенса определяются через арктангенс и его производные, но имеют другие периоды.  
  • Периодичность и асимптоты

    • Функции синуса и косинуса периодичны с периодом 2π.  
    • Функции тангенса и котангенса имеют период π.  
    • Функции имеют простые нули и полюса, кратные π или π/2.  
  • Основные идентичности

    • Косинус и секущая являются четными функциями, остальные тригонометрические функции — нечетными.  
    • Тождество Пифагора связывает тригонометрические функции через косинус и синус.  
    • Формулы суммирования и разности позволяют разложить тригонометрические функции на суммы и разности углов.  
  • Комплексные графики

    • Тригонометрические функции могут быть представлены в комплексной плоскости.  
    • Графики показывают особенности функций, такие как нули и полюса.  
    • Функции могут быть выражены через гиперболические функции.  
  • Выражение тригонометрических функций через рациональные дроби

    • Замена тангенса на половину угла упрощает вычисление интегралов и первообразных.  
    • Производные тригонометрических функций выводятся из производных синуса и косинуса.  
  • Обратные функции

    • Тригонометрические функции не являются инъективными, но на каждом интервале монотонности можно определить обратную функцию.  
    • Обратные функции обозначаются префиксом “arc”.  
  • Приложения в геометрии

    • Закон синусов и косинусов используются для вычисления длин сторон и углов треугольника.  
    • Закон касательных и котангенсов применяются для нахождения сторон и углов треугольника.  
  • Периодические функции в физике

    • Тригонометрические функции используются для описания гармонического движения и периодических функций.  
    • Периодические функции могут быть выражены через ряды Фурье.  
  • История тригонометрии

    • Тригонометрические функции были разработаны в средневековье.  
    • Функции синуса и косинуса восходят к индийской астрономии.  
    • Все шесть современных тригонометрических функций были известны в исламской математике к 9 веку.  
    • Функция тангенса была введена в Европе в 1467 году.  
    • Термины касательная и секущая были введены в 1583 году.  
    • Эйлер представил формулу Эйлера и современные сокращения.  
  • Этимология

    • Слово sine происходит от латинского sinus, означающего “изгиб; бухта”.  
  • Происхождение тригонометрических терминов

    • Арабская форма j-y-b возникла как транслитерация с санскрита jīvā, что означает “тетива лука”.  
    • Латинское слово tangens означает “касающийся”, а secans — “разрезающий”.  
    • Приставка “со-” в “косинусе”, “котангенсе”, “косекансе” встречается в “Каноне треугольника” Эдмунда Гюнтера.  
  • История и развитие тригонометрии

    • Формула синусоидальной аппроксимации Бхаскары I.  
    • Приближение под малым углом.  
    • Дифференцирование тригонометрических функций.  
    • Обобщенная тригонометрия.  
    • Создание тригонометрических таблиц.  
    • Список интегралов тригонометрических функций.  
    • Список периодических функций.  
    • Полярный синус — обобщение на вершинные углы.  
  • Рекомендации и источники

    • Ларс Альфорс, “Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной”.  
    • Карл Б. Бойер, “История математики”.  
    • Шмуэль Гал и Борис Бачелис, “Точная элементарная математическая библиотека для стандарта IEEE с плавающей запятой”.  
    • Джордж Г. Джозеф, “Гребень павлина: неевропейские корни математики”.  
    • Витит Кантабутра, “Об аппаратном обеспечении для вычисления экспоненциальных и тригонометрических функций”.  
    • Эли Маор, “Тригонометрические изыски”.  
    • Тристан Нидэм, “Предисловие” к визуальному комплексному анализу.  
    • Дж. Джей О’Коннор и Э. F. Робертсон, “Тригонометрические функции”.  
    • Ян Г. Пирс, “Мадхава из Сангамаграммы”.  
    • Эрик У. Вайсштейн, “Тангенс” из MathWorld.  
  • Внешние ссылки

    • Обучающий модуль Visionlearning по волновой математике.  
    • GonioLab Визуализирует единичную окружность, тригонометрические и гиперболические функции.  
    • Статья q-Sine о q-аналоге sin в MathWorld.  
    • Статья о q-косинусе, посвященная q-аналогу cos в MathWorld.  

Полный текст статьи:

Тригонометрические функции – Arc.Ask3.Ru

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх