Оглавление
Ультрапродуктовый продукт
-
Определение ультрапродукта
- Ультрапродукт – это множество, состоящее из всех классов эквивалентности элементов в множестве.
- Элементы множества могут быть отображены в элементы ультрапродукта, где класс эквивалентности определяется по отношению эквивалентности.
-
Примеры ультрапродуктов
- Гиперреальные числа – это ультрапродукт действительных чисел, где каждый элемент представляет собой класс эквивалентности константного кортежа.
- Нестандартные целые числа и комплексные числа также могут быть определены как ультрапродукты соответствующих структур.
-
Теорема Лосса
- Теорема Лосса утверждает, что формула первого порядка верна в ультрапродукте, если набор индексов, для которых она верна, является элементом ультрафильтра.
- Ультрафильтр влияет на свойства ультрапродукта, например, если он является σ-завершенным, то ультрапродукт снова становится востребованным.
-
Применение теоремы Лосса
- Теорема позволяет определить гиперрациональные числа как подмножество гиперреальных чисел с теми же свойствами первого порядка, что и рациональные числа.
- Архимедово свойство вещественных чисел может быть перенесено на гиперрациональные числа.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.