Оглавление [Скрыть]
- 1 Уравнения поля Эйнштейна
- 1.1 История и формулировка
- 1.2 Математическая форма
- 1.3 Соглашения о знаках
- 1.4 Эквивалентные формулировки
- 1.5 Космологическая постоянная
- 1.6 Космологическая постоянная и энергия вакуума
- 1.7 Сохранение энергии и импульса
- 1.8 Нелинейность общей теории относительности
- 1.9 Принцип соответствия
- 1.10 Уравнения вакуумного поля
- 1.11 Уравнения вакуумного поля
- 1.12 Уравнения Эйнштейна–Максвелла
- 1.13 Решения уравнений поля Эйнштейна
- 1.14 Линеаризованный EFE
- 1.15 Полиномиальная форма
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Уравнения поля Эйнштейна
Уравнения поля Эйнштейна
-
История и формулировка
- Уравнения поля Эйнштейна (EFE) связывают геометрию пространства-времени с распределением материи.
- EFE были опубликованы Эйнштейном в 1915 году.
- Уравнения связывают кривизну пространства-времени с энергией, импульсом и напряжением.
-
Математическая форма
- EFE записываются как тензорное уравнение, связывающее тензор Эйнштейна, метрический тензор и тензор энергии-напряжения.
- Тензор Эйнштейна определяется через тензор кривизны Риччи и скалярную кривизну.
- Гравитационная постоянная Эйнштейна определяется через ньютоновскую постоянную тяготения и скорость света.
-
Соглашения о знаках
- Существует несколько соглашений о знаках в EFE, включая MTW, Вайнберга, Пиблза и других.
- MTW используют соглашение (− + + +), что приводит к изменению знака космологической постоянной.
-
Эквивалентные формулировки
- EFE можно переписать в эквивалентные формы, такие как обратная трассировка.
- Обратная форма трассировки может быть удобна в некоторых случаях, например, в пределе слабого поля.
-
Космологическая постоянная
- В первоначальной версии EFE космологическая постоянная отсутствовала.
- Эйнштейн включил космологическую постоянную для учета стационарной Вселенной, но это оказалось невозможным.
-
Космологическая постоянная и энергия вакуума
- Эйнштейн отказался от Λ, считая её ошибкой.
- Λ не создает противоречий, но необходима для объяснения ускоряющегося расширения Вселенной.
- Λ эквивалентна энергии вакуума и давлению противоположного знака.
-
Сохранение энергии и импульса
- Общая теория относительности согласуется с локальным сохранением энергии и импульса.
- Это выражается через уравнения поля Эйнштейна.
-
Нелинейность общей теории относительности
- ОСЕ отличается от других фундаментальных теорий своей нелинейностью.
- Примеры: уравнения электромагнетизма Максвелла и квантовой механики Шредингера.
-
Принцип соответствия
- ОСЕ сводится к закону всемирного тяготения Ньютона.
- Постоянная G определяется через приближение слабого поля и замедленной съемки.
-
Уравнения вакуумного поля
- Если тензор энергии-импульса Tμv равен нулю, уравнения поля называются уравнениями вакуумного поля.
-
Уравнения вакуумного поля
- Уравнения вакуумного поля (EVE) записываются как Rμν = 0.
- В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид Rμν = Λ/(D/2 – 1)gμν.
- Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями.
- Примеры вакуумных решений: плоское пространство Минковского, решение Шварцшильда, решение Керра.
-
Уравнения Эйнштейна–Максвелла
- Если тензор энергии–импульса Tμv равен тензору электромагнитного поля, уравнения поля Эйнштейна называются уравнениями Эйнштейна–Максвелла.
- Уравнения имеют вид Gμν + Λgμν = κμ0(FμνFψν + 1/4gμνFψτFψτ).
- Ковариантные уравнения Максвелла также применимы в свободном пространстве.
-
Решения уравнений поля Эйнштейна
- Решения уравнений поля Эйнштейна являются метриками пространства-времени.
- Уравнения поля нелинейны и не всегда могут быть полностью решены.
- Точные решения уравнений поля Эйнштейна важны для космологии и предсказания черных дыр.
-
Линеаризованный EFE
- Нелинейность ОСЕ затрудняет поиск точных решений.
- Линеаризация уравнений поля используется для исследования гравитационного излучения.
-
Полиномиальная форма
- Уравнения поля могут быть записаны в полиномиальной форме без обратного значения метрического тензора.
- Действие Эйнштейна-Гильберта также может быть записано в полиномиальной форме.