Оглавление
Векторный пучок
-
Определение векторного расслоения
- Векторное расслоение – это пара (E, p), где E – векторное пространство, а p – отображение, которое отображает E в другое векторное пространство.
- Векторное расслоение E называется гладким, если его слои являются гладкими многообразиями, а отображение p – гладкое.
-
Примеры векторных расслоений
- Примеры включают линейные расслоения, расслоения на сфере и расслоения на проективных пространствах.
- Линейное расслоение – это расслоение, где слой Ex является линейным пространством, а отображение p – линейное отображение.
- Расслоение на сфере – это расслоение, где слой Ex является сферой, а отображение p – отображение сферы в себя.
- Расслоение на проективном пространстве – это расслоение, где слой Ex является проективным пространством, а отображение p – проективное отображение.
-
Свойства векторных расслоений
- Векторное расслоение является локально тривиальным, если каждый слой Ex является тривиальным векторным пространством.
- Векторное расслоение имеет структуру пучка, если его слои являются векторными пространствами, а отображение p является отображением пучка.
- Векторное расслоение является расслоением с базой, если его слои являются векторными пространствами, а отображение p является отображением на базу.
-
Операции с векторными расслоениями
- Векторные расслоения могут быть сложены, умножены и отождествлены с их обратными расслоениями.
- Расслоения могут быть отображены на другие пространства, что приводит к новым векторным расслоениям.
- Расслоения могут быть преобразованы в пучки волокон, которые имеют более сложную структуру.
-
Гладкие векторные расслоения
- Гладкие векторные расслоения обладают свойством, что их касательное пространство может быть отождествлено с самим слоем.
- Каноническое векторное поле на гладком векторном расслоении полностью характеризует его структуру.
-
K-теория
- K-теория – это абелева группа, которая классифицирует изоморфизмы комплексных векторных расслоений.
- Существуют также версии K-теории для реальных векторных расслоений и расслоений с компактными носителями.
- Теорема Ботта утверждает, что K-теория любого пространства изоморфна теории его двойной подвески.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.