Свободное пространство
-
Определение пространства Бэра
- Пространство Бэра — топологическое пространство, в котором каждое открытое плотное множество имеет непустую внутренность.
- Пространство Бэра является обобщением понятия метризуемого пространства.
-
Эквивалентности и теорема о категориях Бэра
- Эквивалентность между пространством Бэра и множеством, имеющим внутреннюю точку, и между пространством Бэра и объединением замкнутых множеств.
- Теорема о категориях Бэра устанавливает достаточные условия для пространства Бэра, включая полные псевдометрические пространства и локально компактные регулярные пространства.
-
Свойства пространств Бэра
- Каждое пространство Бэра не является малым и эквивалентно тому, что пересечения плотных открытых множеств являются плотными.
- Каждое открытое подпространство и плотное множество Gδ пространства Бэра также являются пространствами Бэра.
- Каждое значение в пространстве Бэра и каждое замкнутое подпространство могут быть согласованы или нет.
- Произведение и сумма пространств Бэра также являются пространствами Бэра, но произведение двух пространств Бэра не всегда является Бэром.
-
Примеры пространств Бэра
- Пустое пространство и пространство вещественных чисел являются пространствами Бэра.
- Пространство рациональных чисел не является пространством Бэра, так как оно скудное.
- Пространство иррациональных чисел является пространством Бэра, так как оно согласовано в вещественных числах.
- Некоторые примеры пространств Бэра не удовлетворяют теореме о категориях Бэра из-за их нелокальной компактности или неполной метризуемости.
-
Дополнительные сведения
- В статье также упоминаются другие связанные понятия, такие как игра в Банах-Мазур, цилиндрическое пространство и теорема Блумберга.
Полный текст статьи: