Теорема Радона–Никодима
-
Определение и свойства меры Радона-Никодима
- Мера Радона-Никодима — это производная меры μ по мере ν, определенная для измеримых функций.
- Она удовлетворяет неравенству треугольника и является монотонной.
- Мера Радона-Никодима существует для всех измеримых функций, если μ и ν являются локально интегрируемыми.
-
Теорема Радона-Никодима и ее следствия
- Теорема Радона-Никодима утверждает, что производная меры μ по мере ν существует и равна интегралу от разности функций.
- Следствия теоремы включают теорему о монотонной сходимости и теорему о разложении Лебега.
- Доказательство теоремы основано на теории меры и функционально-аналитическом подходе фон Неймана.
-
Доказательство для конечных мер
- Для конечных мер μ и ν строится расширенный вариант множества функций с ограниченной вариацией.
- Доказывается, что существует функция f, удовлетворяющая теореме Радона-Никодима.
- Единственность функции f доказывается через μ-почти вездестное равенство.
-
Доказательство для σ-конечных мер
- Для σ-конечных мер μ и ν пространство X разбивается на непересекающиеся множества с конечной мерой.
- Для каждого множества Bn существует функция fn, удовлетворяющая теореме Радона-Никодима для множества Bn.
- Уникальность функции f доказывается через μ-почти повсеместное равенство функций fn.
-
Доказательство для знаковых и комплексных мер
- Для знаковых мер ν можно разложить по Хану-Джордану, что позволяет применить теорему Радона-Никодима к каждой компоненте.
- Для комплексных мер ν можно разложить на конечнозначные знаковые меры, что также позволяет применить теорему к каждой компоненте.
-
Теорема о разложении Лебега
- Теорема Лебега о разложении позволяет разложить σ-конечную меру на две части, одна из которых локально интегрируема.
- Теорема Радона-Никодима может быть применена к каждой из этих частей.
Полный текст статьи: