Диапазон (теория категорий)

• Определение и примеры категорий

  • Категория — это множество объектов с набором морфизмов между ними. 
  • Примеры категорий включают множества, группы, топологические пространства и другие. 

• Типы морфизмов

  • Изоморфизм — это морфизм, который является взаимно однозначным отображением. 
  • Эпиморфизм — это морфизм, который отображает все объекты в одном направлении. 
  • Мономорфизм — это морфизм, который отображает все объекты в одном направлении. 

• Примеры категорий и морфизмов

  • Множество натуральных чисел с операцией сложения является примером категории с изоморфизмами. 
  • Множество натуральных чисел с операцией умножения является примером категории с эпиморфизмами. 
  • Множество действительных чисел с операцией сложения и умножения является примером категории с мономорфизмами. 

• Примеры морфизмов в категориях

  • Отображение f: A → B, которое отображает каждый элемент множества A в элемент множества B, является примером изоморфизма. 
  • Отображение g: A → B, которое отображает все элементы множества A в один элемент множества B, является примером эпиморфизма. 
  • Отображение h: A → B, которое отображает все элементы множества A в элементы множества B, является примером мономорфизма. 

• Примеры категорий с операциями

  • Множество натуральных чисел с операцией сложения и умножения является примером категории с операциями. 
  • Множество действительных чисел с операциями сложения, умножения и деления является примером категории с операциями. 

• Примеры категорий с морфизмами и операциями

  • Множество натуральных чисел с операциями сложения и умножения и морфизмами f и g является примером категории с морфизмами и операциями. 
  • Множество действительных чисел с операциями сложения, умножения, деления и морфизмами h является примером категории с морфизмами и операциями.