Проблема Ямабэ
-
Определение и история задачи Ямабе
- Задача Ямабе — это задача нахождения метрики на замкнутом многообразии, которая конформно эквивалентна заданной метрике и имеет постоянную скалярную кривизну.
- Задача была сформулирована японским математиком Киёси Ямабе в 1950-х годах и связана с проблемой поиска геодезических линий на многообразиях.
-
Эйнштейновская метрика и ее свойства
- Эйнштейновская метрика — это метрика с постоянной скалярной кривизной, которая является частным случаем метрики постоянной кривизны.
- Она имеет важное значение в теории гравитации Эйнштейна и связана с геометрией Римана.
-
Теорема Обаты
- Обата доказал, что каждое решение задачи Ямабе на замкнутом эйнштейновом многообразии является эйнштейновской метрикой.
- Исключением является стандартная сфера с ее обычной метрикой постоянной кривизны в сечении.
-
Некомпактная проблема Ямабе
- На некомпактных римановых многообразиях существует метрика, конформная заданной, с постоянной скалярной кривизной и полная, но не всегда существует.
- Эта проблема остается предметом исследований.