Сфера
-
Определение и основные свойства сферы
- Сфера — это множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра в трехмерном пространстве.
- Центр сферы называется центром, а радиус — r.
- Сфера является фундаментальным объектом в математике и встречается в природе и промышленности.
-
Терминология и обозначения
- Радиус используется как отрезок прямой и как её длина.
- Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на сфере и вдвое больше радиуса.
- Единичная сфера — это сфера с радиусом 1.
- Центр сфер часто находится в начале системы координат.
-
Уравнения и параметризация
- Сфера описывается квадратичным многочленом.
- Уравнение сферы с центром (x0, y0, z0) и радиусом r: f(x, y, z) = 0.
- Параметрическое уравнение сферы: r = const, θ изменяется от 0 до π, φ изменяется от 0 до 2π.
-
Объем и площадь поверхности
- Объем сферы равен V = πr3/6.
- Площадь поверхности сферы равна A = 4πr2.
- Сфера имеет наименьшую площадь поверхности среди поверхностей, охватывающих данный объем.
-
Другие геометрические свойства
- Сфера может быть построена как поверхность, образованная поворотом окружности.
- Сфера — это особый тип эллипсоида вращения.
-
Определение сферы
- Сфера однозначно определяется четырьмя точками, не являющимися копланарными.
- Сфера также определяется окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.
-
Пересечение сфер
- Две сферы пересекаются по окружности, называемой радикальной плоскостью.
- Угол между сферами в точке пересечения — двугранный угол.
- Сферы пересекаются под прямым углом, если квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов.
-
Пучок сфер
- Уравнения двух сфер определяют пучок сфер.
- Пучок может быть плоскостью, если обе исходные сферы — плоскости.
-
Свойства сферы
- Все точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки.
- Контуры и плоские сечения сферы — окружности.
- Сфера имеет постоянную ширину и обхват.
- Все точки сферы являются пуповинами.
- Сфера не имеет поверхности с центрами.
- Все геодезические сферы — замкнутые кривые.
- Сфера имеет наименьшую площадь поверхности среди тел с заданным объемом.
- Сфера имеет постоянную среднюю кривизну и гауссову кривизну.
- Сфера преобразуется сама в себя с помощью трехпараметрического семейства жестких движений.
-
Сферическая геометрия
- Основные элементы — точки и геодезические.
- Измерение длины дуги показывает кратчайший путь между точками.
- Сферическая тригонометрия отличается от обычной.
- Сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов.
- Сферическая геометрия — форма эллиптической геометрии.
-
Дифференциальная геометрия
- Сфера — гладкая поверхность с постоянной гауссовой кривизной.
- Сфера не может быть отображена на плоскость без искажений.
- Элемент площади сферы — r2 sin θ dθ dφ.
-
Основные свойства сферы
- Сфера любого радиуса с нулевым центром является интегральной поверхностью.
- Вектор положения и касательная плоскость ортогональны.
- Направленный наружу вектор нормали равен вектору положения, масштабированному на 1/r.
-
Топология сферы
- Сферу можно вывернуть наизнанку без образования складок.
- Противоположным коэффициентом сферы является реальная проективная плоскость.
-
Кривые на сфере
- Круги на сфере состоят из точек на определенном расстоянии от фиксированной точки.
- Пересечение сферы с плоскостью может быть окружностью, точкой или пустым местом.
- Локсодромы и кривые Клелии являются сферическими спиралями.
-
Сферические коники
- Сферическая коника — это квадратичная кривая, определяемая несколькими способами.
- Пересечение сферы с квадратичным конусом или цилиндром может дать более сложные кривые.
-
Обобщения и размерность
- Эллипсоид — это сфера, растянутая или сжатая в одном или нескольких направлениях.
- Сферы могут быть обобщены до пространств с любым числом измерений.
- n-сфера — это набор точек на фиксированном расстоянии от центральной точки.
-
Метрические пространства
- В метрическом пространстве сфера с центром x и радиусом r — это набор точек, таких что d(x,y) = r.
- В отличие от шара, сфера может быть пустым множеством.
-
История
- Геометрия сферы была изучена греками, включая Евклида и Архимеда.
- Зенодор и Дионисодор внесли значительный вклад в изучение сферы.
-
Галерея и регионы
- Сферы используются в различных областях, таких как оптика и инженерия.
- Полусфера, сферический колпачок и другие регионы также важны в геометрии сферы.