Проблема с мушками
-
Теорема Шенфлайза
- Уточнение теоремы Артура Шенфлайза о кривой Жордана
- Каждая простая замкнутая кривая на плоскости разделяет плоскость на две области
- Эти области гомеоморфны внутренней и внешней поверхности стандартного круга
-
Доказательства для многоугольников
- Кусочно-линейный гомеоморфизм переносит многоугольник на треугольник
- Внутренняя часть многоугольника может быть триангулирована
- Специальные гомеоморфизмы фиксируют внешнюю сторону многоугольника
-
Доказательства для непрерывных кривых
- Теорема Каратеодори о конформном отображении
- Отображение Римана между внутренней частью кривой и открытым диском расширяется до гомеоморфизма
- Аппроксимация непрерывной кривой многоугольником
-
Дополнительные доказательства
- Плотный набор точек на кривой доступен изнутри
- Внутри кривой существуют непересекающиеся многоугольные кривые с вершинами на отрезках
- Тесселяция плоскости с помощью одинаковых плиток для построения многоугольной траектории
-
Граница и расстояние до Жордановой кривой
- Граница состоит из непересекающихся многоугольных кривых
- Расстояние до Жордановой кривой меньше диаметра плитки
-
Расширение гомеоморфизма
- Любой гомеоморфизм между кривой и треугольником можно расширить до гомеоморфизма между их внутренними поверхностями
- Последовательность ε1, ε2, ε3 уменьшает расстояние между точками на кривой Жордана
- Построение многоугольных кривых и треугольников с помощью плиток
- Гомеоморфизмы между многоугольными кривыми и треугольниками расширяются до гомеоморфизмов между их внутренними поверхностями
-
Гомеоморфизмы между жордановскими кривыми
- Любой гомеоморфизм границы треугольника распространяется на гомеоморфизм его внутренней части
- Гомеоморфизм между двумя жордановскими кривыми существует, если они лежат внутри одного большого круга
-
Плавный изгиб
- Доказательства в гладком случае зависят от нахождения диффеоморфизма между внутренней/внешней частью кривой и замкнутым единичным диском
- Диффеоморфизмы могут быть построены с помощью теоремы о гладком отображении Римана или векторных полей и потоков
-
Обобщения
- Существует многомерное обобщение теоремы Шенфлайса, созданное Мортоном Брауном и Барри Мазуром
-
Вложение сфер
- Если (n − 1)-мерная сфера S вложена в n-мерную сферу Sn локально плоским образом, то пара (Sn, S) гомеоморфна паре (Sn, Sn−1), где Sn−1 — экватор n-сферы.
- Браун и Мазур получили премию Веблена за вклад в эту проблему.
-
Доказательства
- Доказательства Брауна и Мазура считаются «элементарными» и используют индуктивные аргументы.
- Проблема Шенфлиса может быть поставлена в категориях, отличных от топологически локально плоской категории.
-
Открытые вопросы
- При n = 4 проблема остается открытой для обеих категорий.
- При n ≥ 5 вопрос в категории smooth имеет положительный ответ и вытекает из теоремы о h-кобордизме.