Оглавление
- 1 Инвариантная теория
- 1.1 Теория инвариантов
- 1.2 Основные понятия
- 1.3 Проблемы и результаты
- 1.4 Инвариантная теория конечных групп
- 1.5 Инвариантная теория бесконечных групп
- 1.6 История и развитие
- 1.7 Современные направления
- 1.8 Теория геометрических инвариантов
- 1.9 Символический метод теории инвариантов
- 1.10 Развитие теории в 1970-х и 1980-х годах
- 1.11 Связанные темы
- 1.12 Рекомендации
- 1.13 Внешние ссылки
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Теория инвариантов
Инвариантная теория
-
Теория инвариантов
- Раздел абстрактной алгебры, изучающий действия групп на алгебраических многообразиях.
- Классически рассматривала инвариантные полиномиальные функции при преобразованиях из линейной группы.
-
Основные понятия
- Группа G действует на векторное пространство V через гомоморфизм π.
- Пространство инвариантных многочленов k[V]G определяется как множество многочленов, сохраняющихся при действии G.
-
Проблемы и результаты
- Первая проблема: конечно ли порождается k[V]G над k?
- Пример: для SLn и Mn, k[V]G изоморфна полиномиальной алгебре, порожденной определителем.
-
Инвариантная теория конечных групп
- Связана с теорией Галуа и симметричными функциями.
- Теорема Шевалле-Шепарда-Тодда характеризует конечные группы с инвариантной алгеброй.
-
Инвариантная теория бесконечных групп
- Связана с линейной алгеброй и проективной геометрией.
- Символический метод играет важную роль.
-
История и развитие
- Теория инвариантов возникла в середине XIX века благодаря работам Кэли и Буля.
- Работа Гильберта (1890) доказала конечное порождение алгебры инвариантов.
- Современные исследования включают эффективные результаты и модульную теорию представлений.
-
Современные направления
- Теория представлений полупростых групп Ли связана с теорией инвариантов.
- Мамфорд (1960-е) вернул теорию инвариантов к жизни в современной форме.
- Джан-Карло Рота разработал теорию стандартных одночленов.
-
Теория геометрических инвариантов
- Современная формулировка теории геометрических инвариантов появилась благодаря Дэвиду Мамфорду.
- Теория фокусируется на построении частного с помощью группового действия.
- Успех достигается путем исключения “плохих” орбит и отождествления “хороших” орбит.
-
Символический метод теории инвариантов
- Восстановлен символический метод теории инвариантов.
- Метод представляет собой эвристическую комбинаторную систему счисления.
- Мотивация: построение пространств модулей в алгебраической геометрии.
-
Развитие теории в 1970-х и 1980-х годах
- Теория взаимодействует с симплектической геометрией и эквивариантной топологией.
- Использовалась для построения пространств модулей объектов в дифференциальной геометрии.
-
Связанные темы
- Теорема Грэма
- Теория представлений конечных групп
- Серия “Мольен”
- Инвариант (математика)
- Инвариант бинарной формы
- Инвариантная мера
- Первая и вторая фундаментальные теоремы теории инвариантов
-
Рекомендации
- Недавний ресурс для изучения модулярных инвариантов конечных групп.
- Введение на уровне бакалавриата в классическую теорию инвариантов бинарных форм.
- Более старый, но все еще полезный опрос.
- Прекрасное введение в теорию инвариантов конечных групп и методы их вычисления.
-
Внешние ссылки
- H. Крафт, К. Процесс, Классическая теория инвариантов, учебник для начинающих.
- V. L. Попов, Е. B. Винберг, `Теория инвариантов”, в алгебраической геометрии.
- iv. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 года) Springer-Verlag, Берлин, 1994; vi+284 стр.; ISBN 3-540-54682-0.