Оглавление
Квазиполное пространство
-
Определение квазиполного TVS
- Квазиполное TVS — это пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество является полным.
- Это важно для неметризуемых TVS.
-
Свойства квазиполных TVS
- Каждый квазизавершенный TVS является последовательно завершенным.
- В квазиполном локально выпуклом пространстве замыкание выпуклой оболочки компактного подмножества компактно.
- В квазиполном хаусдорфовом TVS каждое предкомпактное подмножество относительно компактно.
- Множество всех компактных линейных отображений нормированного пространства в квазиполное локально выпуклое TVS является замкнутым векторным подпространством.
- Каждое квазиполное инфраствольное пространство является бочкообразным.
- Каждое слабо ограниченное подмножество непрерывного двойного пространства квазиполного локально выпуклого пространства сильно ограничено.
- Квазиполное ядерное пространство обладает свойством Гейне–Бореля.
-
Примеры и достаточные условия
- Каждый законченный TVS является квазизавершенным.
- Произведение любого набора квазиполных пространств снова квазиполно.
- Проективный предел любого набора квазиполных пространств снова квазиполно.
- Каждое полурефлексивное пространство квазиполно.
- Частное квазиполного пространства от замкнутого векторного подпространства может не быть квазиполным.
-
Контрпримеры
- Существует LB-пространство, которое не является квазиполным.
-
Связанные понятия
- Полное топологическое векторное пространство — система, в которой точки, приближающиеся друг к другу, сходятся в точку.
- Полное унифицированное пространство — топологическое пространство с унифицированными свойствами.