Простой модуль

• Определение простых модулей

  • Простые модули — это модули без собственных подмодулей, кроме нуля. 
  • Эквивалентно, каждый циклический подмодуль равен модулю. 

• Роль простых модулей в теории колец

  • Простые модули являются строительными блоками для модулей конечной длины. 
  • Они аналогичны простым группам в теории групп. 

• Примеры простых модулей

  • Циклические группы простого порядка являются примерами простых Z-модулей. 
  • Идеалы R, которые являются минимальными ненулевыми правильными идеалами, также являются простыми модулями. 
  • Факторные модули R / I являются простыми модулями, если I — максимальный правильный идеал. 
  • Частное отображение R / I → R / J имеет ядро, не равное R / I, если J — правильный идеал, содержащий I. 

• Связь с групповыми представлениями

  • Групповые представления G являются левыми модулями над групповым кольцом k[G]. 
  • Простые k[G]-модули называются неприводимыми представлениями. 

• Основные свойства простых модулей

  • Простыми модулями являются модули длины 1. 
  • Каждый простой модуль неразложим, но обратное неверно. 
  • Каждый простой модуль циклический и генерируется одним элементом. 
  • Не каждый модуль имеет простой подмодуль. 

• Связь между простыми модулями и гомоморфизмами

  • Если M простое, то гомоморфизм f либо нулевой, либо инъективный. 
  • Если N простое, то f либо нулевой, либо сюръективный. 
  • Если M = N, то f является эндоморфизмом. 
  • Кольцо эндоморфизмов простого модуля является кольцом деления. 

• Композиционные ряды и теорема Йордана-Гельдера

  • Композиционные ряды описывают последовательность подмодулей модуля M. 
  • Теорема Йордана-Гельдера описывает взаимосвязи между композиционными рядами одного модуля. 

• Применение теории простых модулей

  • Теория простых модулей используется для понимания структуры конечных групп и полупростых колец. 
  • Она также применяется для изучения функтора Ext и теории Аусландера-Райтена. 

• Теорема о плотности Якобсона

  • Теорема о плотности Якобсона утверждает, что любое примитивное кольцо изоморфно кольцу D-линейных операторов. 
  • Следствием является теорема Уэддерберна о том, что любое правильное артиновое простое кольцо изоморфно полному матричному кольцу.