Многочлены Лежандра

• Определение и свойства многочленов Лежандра

  • Многочлены Лежандра — это ортогональные многочлены, которые имеют конечное число разрывов и являются решениями дифференциального уравнения. 
  • Они используются для решения задач в физике, математике и других областях. 

• Формула Родригеса

  • Формула Родригеса позволяет выразить многочлены Лежандра через биномиальные коэффициенты. 
  • Она является компактным выражением для многочленов Лежандра и имеет множество приложений. 

• Приложения многочленов Лежандра

  • Они используются в решении уравнения статического потенциала и уравнения Шредингера. 
  • Они также применяются в мультипольном расширении функций и в тригонометрии. 

• Рекуррентные нейронные сети

  • Многочлены Лежандра используются в рекуррентных нейронных сетях для оптимизации их активности. 
  • Они могут превосходить устройства долговременной кратковременной памяти и требуют меньше вычислительных ресурсов. 

• Дополнительные свойства многочленов Лежандра

  • Они имеют определенную четность и свойство ортогональности. 
  • Они также имеют свойство чересстрочной развертки и асимптотическое поведение. 

• Нули многочленов Лежандра

  • Все нули многочленов Лежандра являются реальными и лежат в интервале (-1, 1). 
  • Они играют важную роль в численном интегрировании и квадратуре Гаусса-Лежандра. 

• Сдвинутые многочлены Лежандра

  • Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как многочлены, сдвинутые на константу. 
  • Они имеют явное выражение и являются ортогональными функциями на интервале (0, ∞).