Группа персонажей

• Определение группы символов

  • Группа символов G^ является группой всех символов fk в абелевой группе G. 
  • Главный символ f1 является идентификационным элементом, а обратная величина символа равна его комплексному сопряжению. 

• Альтернативное определение

  • Используется группа U(1) вместо C^*, что полезно при изучении сложных торов. 
  • Группа символов решетки в сложном торе изоморфна двойственному тору. 

• Выражение элементов в группе символов

  • Элементы в U(1) выражаются через e^(2πix) для x ∈ R. 
  • Гомоморфизм ϕ: Λ → U(1) может быть представлен как exp(2πif(x)) для x ∈ Λ. 

• Изоморфизм с группами гомоморфизмов

  • Группа символов Hom(Λ, R) изоморфна Hom(Z2n, R) и R2n. 
  • Для абелевых групп G изоморфизм Hom(Z, G) приводит к изоморфизму G. 

• Примеры групп символов

  • Для конечно порожденных абелевых групп символы могут быть легко вычислены. 
  • Группа символов изоморфна сумме групп Hom(Z, C^*) и Hom(Z/ni, C^*) для различных n и корней единства. 

• Ортогональность символов

  • Матрица A(G) с элементами fj(gk) удовлетворяет соотношениям ортогональности. 
  • Сопряженная транспозиция A∗ обеспечивает ортогональность символов.