Симплектоморфизм
-
Определение симплектоморфизма
- Симплектоморфизм — это изоморфизм в категории симплектических многообразий.
- В классической механике симплектоморфизм сохраняет объем и симплектическую структуру.
-
Формальное определение симплектоморфизма
- Диффеоморфизм между симплектическими многообразиями называется симплектоморфизмом, если его обратный является обратным.
- Группа симплектоморфизмов — это группа, состоящая из симплектоморфизмов из многообразия в себя.
-
Бесконечно малые версии симплектоморфизмов
- Векторные поля, порожденные симплектическими функциями, называются симплектическими.
- Поток векторного поля является симплектоморфизмом.
-
Примеры симплектоморфизмов
- Примеры включают канонические преобразования в классической механике и физике, а также отображение на кокасательные расслоения.
-
Группы симплектоморфизмов
- Группа симплектоморфизмов является псевдогруппой, а гамильтоновы симплектоморфизмы образуют подгруппу.
- Группа гамильтоновых симплектоморфизмов имеет естественную геометрию и может быть вычислена с использованием теории псевдоголоморфных кривых Громова.
-
Сравнение с римановой геометрией
- Симплектические многообразия менее жесткие, чем римановы, и все симплектические многообразия одной размерности локально изоморфны.
- Группа изометрий риманова многообразия является группой Ли, в то время как группа симплектоморфизмов всегда бесконечномерна.
-
Квантования и гипотеза Арнольда
- Представления подгрупп группы симплектоморфизмов в гильбертовых пространствах называются квантованиями.
- Гипотеза Арнольда связывает минимальное количество неподвижных точек гамильтонова симплектоморфизма с числом критических точек на многообразии.
-
В массовой культуре
- Слово «симплектоморфизм» встречается в кроссворде аниме «Семейка шпионов ×».
Полный текст статьи: