Метка: Algebraic structures
-
Булева алгебра (структура) — Википедия
Булева алгебра (структура) Определение булевой алгебры Булева алгебра — это алгебра с двумя операциями: конъюнкцией (∧) и дизъюнкцией (∨). Операции определены так, что они удовлетворяют законам Де Моргана и коммутативности. Булева алгебра является примером алгебраической системы, которая имеет важные приложения в логике и информатике. История и развитие Булева алгебра была разработана Джорджем Булем в 1847…
-
Конечно порожденная абелева группа — Википедия
Конечно порожденная абелева группа Определение и свойства конечно порожденных абелевых групп Абелева группа G называется конечно порожденной, если она имеет конечное число образующих. Группа G является свободной абелевой, если она является прямой суммой конечного числа копий группы Z . Группа G является конечно порожденной тогда и только тогда, когда она является прямой суммой конечного числа…
-
Идеал (теория колец) — Википедия
Идеал (теория колец) Определение и свойства идеалов Идеал — это подмножество элементов кольца, удовлетворяющее определенным условиям. Идеал является подкольцом, если он содержит единицу и является подмодулем, если он содержит нулевой элемент. Идеал является двусторонним, если он содержит как левые, так и правые идеалы. Примеры идеалов Множество всех целых чисел является идеалом в кольце целых чисел. …
-
Неотъемлемый элемент — Википедия
Неотъемлемый элемент Определение интегрального расширения Интегральное расширение — это расширение поля K, в котором каждый элемент K является алгебраическим над расширением. Расширение K[x] / (x^2) является примером интегрального расширения. Интегральные расширения и кольца Интегральные расширения являются кольцами, в которых каждый элемент является алгебраическим над K. Кольцо A является интегральным расширением K, если оно является интегральным…
-
Кольцо (математика) — Википедия
Кольцо (математика) Определение кольца Кольцо — это алгебра с двумя бинарными операциями: сложением и умножением. Аксиомы кольца включают ассоциативность, коммутативность, наличие единицы и обратимости элементов. Примеры колец Кольца целых чисел, рациональных чисел, вещественных чисел и комплексных чисел являются примерами коммутативных колец. Алгебра многочленов, алгебра формальных степенных рядов и алгебра непрерывных функций являются примерами коммутативных колец. …
-
Полная алгебра Гейтинга — Википедия
Полная алгебра Хейтинга Определение локалей Локаль — это топологическое пространство, в котором все точки являются открытыми. Локаль является топологическим пространством, в котором все точки являются замкнутыми. Локаль — это топологическое пространство, в котором все точки являются одновременно открытыми и замкнутыми. Примеры локалей Пространство Кантора является примером локаля. Пространство Лобачевского является примером локаля. Пространство Минковского является…
-
Модуль (математика) — Википедия
Модуль (математика) Определение модуля Модуль над кольцом R — это R-модуль, который является векторным пространством над полем вещественных чисел. R-модуль — это векторное пространство, на котором определена операция сложения и умножения на элементы кольца R. Примеры модулей Примеры включают векторные пространства, алгебры Ли, гладкие функции и тензорные поля. Векторные пространства над полем вещественных чисел являются…
-
Магма (алгебра) — Википедия
Магма (алгебра) Основы абстрактной алгебры Магмы, бинарные или группоиды, являются базовыми алгебраическими структурами. Магмы состоят из набора с бинарной операцией, которая должна быть замкнутой. История и терминология Термин «группоид» введен в 1927 году, но позже был перегружен Хаусманом и Оре. Существуют разногласия относительно общепринятого термина для множеств с неассоциативной бинарной операцией. Термин «магма» использовался Серром…
-
Класс групп — Википедия
Класс групп Основы теории групп Теория групп — это раздел математики, изучающий свойства групп. Группы — это множества с операциями сложения и умножения, удовлетворяющими определенным условиям. Примеры групп включают циклические группы, конечные группы и свободные группы. Операции и классы групп Операции в теории групп включают операции сложения, умножения, взятия обратного элемента и другие. Классы групп…
-
Неотъемлемый элемент — Википедия
Неотъемлемый элемент Определение интегрального расширения Интегральное расширение — это расширение поля K, в котором каждый элемент K является алгебраическим над расширением. Расширение K[x] / (x^2) является примером интегрального расширения. Интегральные расширения и кольца Интегральные расширения являются кольцами, в которых каждый элемент является алгебраическим над K. Кольцо A является интегральным расширением K, если оно является интегральным…
-
Категория (математика) — Википедия
Категория (математика) Основы теории категорий Категория — это множество объектов с морфизмами, которые связывают объекты. Морфизмы могут быть отображением, отображением с обратным, отображением с обратным и обратным отображением. Категории могут быть определены как множества с морфизмами, удовлетворяющими определенным аксиомам. Типы морфизмов Морфизмы могут быть мономорфизмами, эпиморфизмами, биморфизмами, опровержениями, разделами и изоморфизмами. Эндоморфизмы — это морфизмы,…
-
Поле (математика) — Википедия
Область знаний (математика) Определение и свойства полей Поле — это алгебраическая структура, которая включает в себя операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также имеет нуль и единицу. Поле является коммутативным кольцом с единицей, но не обязательно имеет мультипликативные обратные элементы. Поле может быть определено как множество, замкнутое относительно этих операций, и оно должно содержать…
-
Группоид — Википедия
Группоид Определение и свойства группоидов Группоид — это категория с морфизмами, удовлетворяющими ассоциативности и единичности. Группоиды могут быть определены как категории с морфизмами, которые являются гомоморфизмами групп. Группоиды обладают свойствами, аналогичными свойствам групп, такими как изоморфизм и транзитивность. Примеры и приложения Примеры включают фундаментальные группы топологических пространств и орбиты в теории групп. Группоидные морфизмы могут…
-
Двойной группоид — Википедия
Двойной группоид Определение и примеры двойных группоидов Двойной группоид — это пара группоидов, связанных морфизмом, который является функтором диаграммы. Примеры включают скрещенные модули и гомотопические двойные группоиды. Гомотопические двойные группоиды Гомотопический двойной группоид — это обобщение фундаментального группоида на размерность 2. Он используется для доказательства двумерной теоремы Зайферта-ван Кампена. Категория двойного группоида Категория двойных группоидов…
-
Остроконечный набор — Википедия
Заостренный набор Определение и свойства точечных множеств Точечные множества — это множества с выделенным элементом, который называется базовой точкой. Базовая точка служит «значением по умолчанию» для аргументов, для которых частичная функция не определена. Категория точечных множеств и отображений на их основе эквивалентна категории множеств и частичных функций. Примеры и приложения Группы являются точечными множествами с…
-
Категория (математика) — Википедия
Категория (математика) Основы теории категорий Категория — это множество объектов с морфизмами, которые связывают объекты. Морфизмы могут быть отображением, отображением с обратным, отображением с обратным и обратным отображением. Категории могут быть определены как множества с морфизмами, удовлетворяющими определенным аксиомам. Типы морфизмов Морфизмы могут быть мономорфизмами, эпиморфизмами, биморфизмами, опровержениями, разделами и изоморфизмами. Эндоморфизмы — это морфизмы,…
-
Алгебра Клини — Википедия
Алгебра Клини Определение и свойства алгебры Клини Алгебра Клини — это алгебра с операциями сложения, умножения и операции «звезда Клини». Операция «звезда Клини» является идемпотентной и монотонной, а также удовлетворяет определенным аксиомам. Алгебра Клини обладает свойствами, такими как нуль является наименьшим элементом и сумма является наименьшей верхней границей. Примеры алгебр Клини Примеры включают алгебры над…
-
Числовая полугруппа — Википедия
Числовая полугруппа Определение числовой полугруппы Числовая полугруппа — это множество целых чисел с операцией сложения, где 0 является элементом. Числовые полугруппы являются коммутативными моноидами. Примеры числовых полугрупп Множество целых чисел вида x1n1 + x2n2 + … + xrnr является числовой полугруппой. Множество всех целых чисел вида a + b, где a и b — натуральные…
-
Полугруппа — Википедия
Полугруппа Определение и свойства полугрупп Полугруппа — это множество с бинарной операцией, удовлетворяющей аксиомам полугруппы. Полугруппы обладают свойствами ассоциативности, идемпотентности и обратимости. Существуют различные типы полугрупп, включая коммутативные, ассоциативные и регулярные. Примеры и приложения Примеры включают полугруппы подмножеств, матриц и операторов. Полугруппы используются в теории автоматов, функциональном анализе и дифференциальных уравнениях. Структурная теорема и группа…