Оглавление
Σ-конечная мера
-
Определение σ-конечной меры
- Мера μ называется σ-конечной, если X можно покрыть счетным числом измеримых множеств с конечной мерой.
- Подмножество X называется σ-конечным, если оно равно такому счетному объединению.
- σ-конечность является более слабым условием, чем конечность.
-
Примеры σ-конечных мер
- Мера Лебега для действительных чисел не конечна, но σ-конечна.
- Счетная мера для натуральных чисел является σ-конечной.
- Локально компактные группы, такие как связные группы Ли, являются σ-конечными по мере Хаара.
-
Не являющиеся примерами σ-конечных мер
- Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и ∞, не является σ-конечной.
-
Свойства σ-конечных мер
- Класс σ-конечных мер обладает удобными свойствами, сравнимыми с разделимостью топологических пространств.
- Теорема Радона–Никодима и теорема Фубини требуют σ-конечности, но могут быть сформулированы с использованием локализуемости.
- Меры Хаусдорфа меньшей размерности не являются σ-конечными.
-
Эквивалентность вероятностной мере
- Любая σ-конечная мера эквивалентна вероятностной мере.
-
Связанные понятия
- Умеренные меры: существуют не более счетного числа открытых множеств с конечной мерой, каждая умеренная мера является σ-конечной.
- Разлагаемые меры: существуют непересекающиеся измеримые множества с конечной мерой, каждый σ-конечная мера является разложимой.
- s-конечные меры: мера μ является s-конечной, если она представляет собой сумму не более чем счетного числа конечных мер, каждая σ-конечная мера является s-конечной.