Абсолютная конвергенция

Оглавление1 Абсолютная конвергенция1.1 Определение абсолютной сходимости1.2 Условно сходящиеся ряды1.3 Примеры условно сходящихся рядов1.4 Абсолютная сходимость в топологических векторных пространствах1.5 Отношение […]

Абсолютная конвергенция

  • Определение абсолютной сходимости

    • Бесконечный ряд чисел абсолютно сходится, если сумма абсолютных значений слагаемых конечна.  
    • Неправильный интеграл от функции абсолютно сходится, если интеграл от абсолютного значения подынтегральной функции конечен.  
  • Условно сходящиеся ряды

    • Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся.  
    • Условно сходящиеся ряды могут быть переставлены так, чтобы их сумма была конечным числом или расходилась.  
  • Примеры условно сходящихся рядов

    • Чередующийся гармонический ряд является условно сходящимся, так как сумма абсолютных значений его членов расходится.  
  • Абсолютная сходимость в топологических векторных пространствах

    • В топологических векторных пространствах абсолютно суммируемое семейство сходится, если предел сети сходится и для каждой непрерывной полунормы семейство суммируется в R.  
  • Отношение к сходимости

    • Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.  
    • Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, он называется условно сходящимся.  
  • Доказательство сходимости абсолютно сходящихся рядов комплексных чисел

    • Абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится, если сходятся ряды, состоящие из квадратов модулей членов.  
    • Сходимость этих рядов влечет за собой сходимость исходного ряда.  
  • Сходимость рядов

    • Сумма абсолютных значений сходящихся рядов также сходится.  
    • Критерий Коши и неравенство треугольника доказывают это.  
  • Абсолютная сходимость в банаховых пространствах

    • Любой абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве сходится.  
    • Неравенство треугольника и критерий Коши используются для доказательства.  
  • Перестановки и безусловная сходимость

    • Абсолютно сходящиеся ряды сохраняют значение при перестановке членов.  
    • Теорема о перестановке Римана утверждает обратное.  
  • Безусловная сходимость в нормированных абелевых группах

    • В нормированных абелевых группах безусловная сходимость подразумевает абсолютную сходимость.  
    • В банаховых пространствах обратное не всегда верно.  
  • Теорема Дворецкого и Роджерса

    • В бесконечномерных банаховых пространствах существуют безусловно сходящиеся ряды, которые не являются абсолютно сходящимися.  
    • Доказательство использует перестановки и неравенства.  
  • Произведение Коши

    • Произведение Коши двух сходящихся рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один из рядов сходится абсолютно.  
  • Абсолютная сходимость по множествам

    • Обобщение абсолютной сходимости ряда — абсолютная сходимость суммы функций по множеству.  
    • Сумма функций по множеству определяется как сумма значений функции на всех элементах множества.  
  • Определение суммы над множеством

    • Сумма над множеством X может быть не определена, если существует условно сходящийся ряд.  
    • Сумма определяется как сумма по биекции g: Z+ → X, если ряд абсолютно сходящийся.  
    • Сумма над счетным множеством определяется как сумма по ненулевым значениям функции.  
  • Абсолютная сходимость рядов

    • Ряд абсолютно сходится, если отхлебывать {∑x∈A|f(x)|: A ⊆ X, A конечно} < ∞.  
    • Повторяющаяся сумма абсолютно сходится, если повторяющийся ряд ∑m=1∞∑n=1∞|am,n| < ∞.  
  • Абсолютная сходимость интегралов

    • Интеграл абсолютно сходится, если ∫A|f(x)|dx < ∞.  
    • Интеграл Римана абсолютно сходится, если f интегрируема и ограничена.  
    • Интеграл Лебега абсолютно сходится, если |f| интегрируема.  
    • Интеграл Курцвейля-Хенстока абсолютно сходится, если f интегрируема, но |f| не интегрируема.  
  • Общие рекомендации

    • Уолтер Рудин, “Принципы математического анализа” (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).  

Полный текст статьи:

Абсолютная конвергенция

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх