Оглавление
- 1 Абсолютная конвергенция
- 1.1 Определение абсолютной сходимости
- 1.2 Условно сходящиеся ряды
- 1.3 Примеры условно сходящихся рядов
- 1.4 Абсолютная сходимость в топологических векторных пространствах
- 1.5 Отношение к сходимости
- 1.6 Доказательство сходимости абсолютно сходящихся рядов комплексных чисел
- 1.7 Сходимость рядов
- 1.8 Абсолютная сходимость в банаховых пространствах
- 1.9 Перестановки и безусловная сходимость
- 1.10 Безусловная сходимость в нормированных абелевых группах
- 1.11 Теорема Дворецкого и Роджерса
- 1.12 Произведение Коши
- 1.13 Абсолютная сходимость по множествам
- 1.14 Определение суммы над множеством
- 1.15 Абсолютная сходимость рядов
- 1.16 Абсолютная сходимость интегралов
- 1.17 Общие рекомендации
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Абсолютная конвергенция
Абсолютная конвергенция
-
Определение абсолютной сходимости
- Бесконечный ряд чисел абсолютно сходится, если сумма абсолютных значений слагаемых конечна.
- Неправильный интеграл от функции абсолютно сходится, если интеграл от абсолютного значения подынтегральной функции конечен.
-
Условно сходящиеся ряды
- Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся.
- Условно сходящиеся ряды могут быть переставлены так, чтобы их сумма была конечным числом или расходилась.
-
Примеры условно сходящихся рядов
- Чередующийся гармонический ряд является условно сходящимся, так как сумма абсолютных значений его членов расходится.
-
Абсолютная сходимость в топологических векторных пространствах
- В топологических векторных пространствах абсолютно суммируемое семейство сходится, если предел сети сходится и для каждой непрерывной полунормы семейство суммируется в R.
-
Отношение к сходимости
- Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.
- Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, он называется условно сходящимся.
-
Доказательство сходимости абсолютно сходящихся рядов комплексных чисел
- Абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится, если сходятся ряды, состоящие из квадратов модулей членов.
- Сходимость этих рядов влечет за собой сходимость исходного ряда.
-
Сходимость рядов
- Сумма абсолютных значений сходящихся рядов также сходится.
- Критерий Коши и неравенство треугольника доказывают это.
-
Абсолютная сходимость в банаховых пространствах
- Любой абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве сходится.
- Неравенство треугольника и критерий Коши используются для доказательства.
-
Перестановки и безусловная сходимость
- Абсолютно сходящиеся ряды сохраняют значение при перестановке членов.
- Теорема о перестановке Римана утверждает обратное.
-
Безусловная сходимость в нормированных абелевых группах
- В нормированных абелевых группах безусловная сходимость подразумевает абсолютную сходимость.
- В банаховых пространствах обратное не всегда верно.
-
Теорема Дворецкого и Роджерса
- В бесконечномерных банаховых пространствах существуют безусловно сходящиеся ряды, которые не являются абсолютно сходящимися.
- Доказательство использует перестановки и неравенства.
-
Произведение Коши
- Произведение Коши двух сходящихся рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один из рядов сходится абсолютно.
-
Абсолютная сходимость по множествам
- Обобщение абсолютной сходимости ряда — абсолютная сходимость суммы функций по множеству.
- Сумма функций по множеству определяется как сумма значений функции на всех элементах множества.
-
Определение суммы над множеством
- Сумма над множеством X может быть не определена, если существует условно сходящийся ряд.
- Сумма определяется как сумма по биекции g: Z+ → X, если ряд абсолютно сходящийся.
- Сумма над счетным множеством определяется как сумма по ненулевым значениям функции.
-
Абсолютная сходимость рядов
- Ряд абсолютно сходится, если отхлебывать {∑x∈A|f(x)|: A ⊆ X, A конечно} < ∞.
- Повторяющаяся сумма абсолютно сходится, если повторяющийся ряд ∑m=1∞∑n=1∞|am,n| < ∞.
-
Абсолютная сходимость интегралов
- Интеграл абсолютно сходится, если ∫A|f(x)|dx < ∞.
- Интеграл Римана абсолютно сходится, если f интегрируема и ограничена.
- Интеграл Лебега абсолютно сходится, если |f| интегрируема.
- Интеграл Курцвейля-Хенстока абсолютно сходится, если f интегрируема, но |f| не интегрируема.
-
Общие рекомендации
- Уолтер Рудин, “Принципы математического анализа” (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).