Абсолютная непрерывность
-
Абсолютная непрерывность функций
- Функция абсолютно непрерывна, если для любого ε существует δ такое, что для любой последовательности попарно непересекающихся подинтервалов [xk, yk] из интервала I, если λ(A) = 0 для всех A, то f(A) = 0.
- Эквивалентные определения: функция абсолютно непрерывна, если она имеет производную почти везде, интегрируемую по Лебегу, и f(x) = f(a) + ∫a x f'(t)dt для всех x на [a, b].
- Свойства: сумма и разность абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывны, произведение абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывно, обратная величина абсолютно непрерывной функции абсолютно непрерывна, абсолютно непрерывные функции равномерно непрерывны и непрерывны, абсолютно непрерывные функции имеют ограниченную вариацию, абсолютно непрерывные функции обладают свойством Лузина N.
- Примеры: функция Кантора на [0, 1] не абсолютно непрерывна, функция f(x) = {0, если x = 0, x sin(1/x), если x ≠ 0} абсолютно непрерывна, но не непрерывна по α-Гельдеру.
-
Абсолютная непрерывность мер
- Мера μ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега λ, если для каждого λ-измеримого множества A, если λ(A) = 0, то μ(A) = 0.
- Эквивалентные определения: мера абсолютно непрерывна, если для каждого ε существует δ такое, что μ(A) < ε для всех борелевских множеств A из меры Лебега, меньшей, чем δ; существует интегрируемая по Лебегу функция g на R такая, что μ(A) = ∫A g dλ для всех борелевских подмножеств A.
- Свойства: абсолютно непрерывные меры имеют плотности, абсолютно непрерывные вероятностные меры имеют функции плотности вероятности.
-
Обобщения
- Абсолютная непрерывность функций и мер обобщается на метрические пространства и меры на борелевских подмножествах Rn.
- Абсолютная непрерывность мер обобщается на меры в одном и том же измеримом пространстве.
-
Абсолютная непрерывность мер
- Абсолютная непрерывность мер определяется как рефлексивное и транзитивное отношение, но не антисимметричное.
- Если меры эквивалентны, они называются абсолютно непрерывными по отношению друг к другу.
- Если мера μ абсолютно непрерывна по отношению к ν, то её изменение |μ| удовлетворяет условию |μ| ≪ ν.
-
Теорема Радона–Никодима
- Если μ абсолютно непрерывно по отношению к ν и обе меры σ-конечны, то μ обладает плотностью по отношению к ν.
- Плотность μ по отношению к ν обозначается как f = dμ/dν и удовлетворяет условию μ(A) = ∫A f dν для любого ν-измеримого набора A.
-
Особые меры
- Каждая σ-конечная мера может быть разложена на сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярной меры.
- Примеры мер, которые не являются абсолютно непрерывными, приведены в разделе “Единичная мера”.
-
Связь между абсолютной непрерывностью и производными
- Конечная мера μ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега тогда и только тогда, когда функция точки μ(x) абсолютно непрерывна.
- В более общем случае, функция локально абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда её производная по распределению является мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.
-
Дополнительные замечания
- Если мера μ локально конечна, то μ является мерой Лебега–Стилтьеса, сгенерированной функцией F.
- Связь между абсолютной непрерывностью и производными сохраняется.