Оглавление
Аффинный моноид
-
Определение аффинных моноидов
- Аффинные моноиды — это коммутативные моноиды, конечно порожденные и изоморфные подмоноидам свободной абелевой группы Zd.
- Они тесно связаны с выпуклыми многогранниками и полезны в алгебраическом изучении геометрических объектов.
-
Характеристики аффинных моноидов
- Аффинные моноиды конечно порождены, что означает существование конечного набора элементов, порождающих моноид.
- Они являются отменяющими и не подвержены кручению.
- Пересечение двух аффинных моноидов также является аффинным моноидом.
-
Группа различий
- Группа различий аффинного моноида — это набор классов эквивалентностей, определяемых сложением.
- Ранг аффинного моноида равен рангу группы различий.
- Если аффинный моноид задан как подмоноид из Zr, то группа различий изоморфна ZM, где ZM — подгруппа Zr.
-
Нормальные аффинные моноиды
- Нормализация аффинного моноида — это интегральное замыкание моноида в группе различий.
- Моноид является нормальным аффинным моноидом, если его нормализация совпадает с самим моноидом.
- Нормальный аффинный моноид тогда и только тогда, когда его подмоноид в Rn является конечно порожденным и M = Zr ∩ R+M.
-
Аффинные моноидные кольца
- Для аффинного моноида M и коммутативного кольца R можно сформировать аффинное моноидное кольцо R[M].
- Это R-модуль на основе M, где f ∈ R[M] означает, что f является функцией, действующей на M.
-
Связь с выпуклой геометрией
- Аффинные моноиды связаны с рациональными выпуклыми конусами и многогранниками.
- Если M является подмоноидом из Rn, то R+M является конусом тогда и только тогда, когда M является аффинным моноидом.
- Если P в Rn является рациональным многогранником, C — конусом спада в P, и L — решеткой в Qn, то P ∩ L является конечно порожденным модулем над аффинным моноидом C ∩ L.