Оглавление
Архимедова группа
-
Определение архимедовой группы
- Архимедова группа – это линейно упорядоченная группа с ограничением на положительные элементы.
- Множество действительных чисел с операцией сложения является архимедовой группой.
-
Изоморфизм и название
- Каждая архимедова группа изоморфна подгруппе действительных чисел.
- Название “Архимедово” связано с Отто Штольцем, который ввел это свойство в работах Архимеда.
-
Аддитивная группа
- Аддитивная группа состоит из элементов с операциями сложения, идентичности и обратной суммы.
- Группа является линейно упорядоченной, если элементы можно упорядочить совместимо с групповой операцией.
-
Определение архимедовой группы
- Архимедова группа удовлетворяет свойству Архимеда для любых двух положительных элементов.
- Эквивалентное определение исключает ограниченные циклические подгруппы.
-
Примеры архимедовых групп
- Множество целых, рациональных и вещественных чисел с операцией сложения являются архимедовыми группами.
- Каждая подгруппа архимедовой группы также является архимедовой.
- Отто Гельдер показал, что каждая архимедова группа изоморфна подгруппе действительных чисел.
-
Примеры неархимедовых групп
- Группы, которые не могут быть линейно упорядочены, например, конечные группы, не являются архимедовыми.
- p-адические числа и упорядоченные группы с поточечным сложением не являются архимедовыми.
-
Дополнительные свойства
- Архимедовы группы обладают свойством, что для любого элемента и дедекиндова разреза существует элемент на нижней стороне разреза и на верхней стороне разреза с разницей не больше ε.
- Архимедовы группы являются абелевыми, что обобщается на упорядоченные группы с этим свойством.
-
Обобщения архимедовых групп
- Архимедовы моноиды и линейно упорядоченные моноиды обобщают архимедовы группы.
- Примеры включают натуральные числа и неотрицательные рациональные числа.
-
Рекомендации
- Статья содержит ссылки на дополнительные материалы для углубленного изучения темы.
Полный текст статьи: