Ассоциативная алгебра

• Определение и свойства алгебр

  • Алгебра — это множество с операциями сложения и умножения, удовлетворяющими определенным аксиомам. 
  • Ассоциативная алгебра — это алгебра с ассоциативной операцией умножения. 
  • Унитарная алгебра — это алгебра с единицей, удовлетворяющей условию, что для любого элемента a существует элемент a−1, такой что a(a−1) = 1. 
  • Полупростая алгебра — это алгебра, которая не имеет ненулевых простых идеалов. 
  • Артинова алгебра — это алгебра, в которой каждый идеал является нильпотентным. 

• Примеры алгебр

  • Примеры включают матрицы, полилинейные функции, линейные операторы и другие. 
  • Примеры унитарных алгебр включают алгебры операторов и алгебры матриц. 
  • Примеры полупростых алгебр включают алгебры матриц и алгебры Ли. 

• Алгебраические операции

  • Сложение и умножение в алгебре определяются как операции, сохраняющие ассоциативность и коммутативность. 
  • Умножение в унитарной алгебре должно быть ассоциативным и иметь обратный элемент. 
  • В полупростой алгебре каждый идеал должен быть нильпотентным. 

• Алгебраические структуры

  • Алгебраические структуры включают подалгебры, гомоморфизмы, идеалы и радикалы. 
  • Подалгебры — это подмножества, которые удовлетворяют аксиомам алгебры. 
  • Гомоморфизмы — это отображения, сохраняющие операции алгебры. 
  • Идеалы — это подмножества, которые являются подпространствами и удовлетворяют аксиомам идеалов. 
  • Радикалы — это пересечения всех максимальных идеалов. 

• Коалгебры и представления

  • Коалгебра — это алгебра, в которой билинейное отображение можно переинтерпретировать как линейное отображение. 
  • Представления алгебры — это гомоморфизмы в алгебру эндоморфизмов векторного пространства. 
  • Тензорное произведение представлений — это представление алгебры тензорного произведения двух представлений. 
  • Биалгебра — это коалгебра с дополнительной структурой коумножения. 
  • Алгебра Хопфа — это биалгебра с антиподом, позволяющим определить тензорное произведение представлений. 
  • Алгебра Ли — это алгебра с антисимметричным тензорным произведением. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.