Оглавление [Скрыть]
Астроид
-
Определение астроида
- Астроид — это кривая рулетки с четырьмя остриями.
- Это местоположение точки на окружности, вращающейся внутри фиксированной окружности с радиусом в четыре раза больше.
- При двойном генерировании это также местоположение точки на окружности с радиусом в 4/3 раза больше.
-
История и названия
- Первоначально предложен Джозефом Иоганном фон Литтроу в 1838 году.
- Кривая имела множество названий, включая тетракуспидальную, кубоциклоиду и парацикл.
- Современное название происходит от греческого слова “звезда”.
-
Уравнения
- Уравнение астроида: x^2/3 + y^2/3 = a^2/3.
- Параметрические уравнения: x = a cos^3 t, y = a sin^3 t.
- Уравнение движения педали: r^2 = a^2 – 3p^2.
- Уравнение Уэвелла: s = 3a^4 cos^2 φ.
- Уравнение Чезаро: R^2 + 4s^2 = 9a^2/4.
- Полярное уравнение: r = a(cos^2/3 θ + sin^2/3 θ)^3/2.
-
Алгебраическое уравнение
- Астроид — это вещественный локус плоской алгебраической кривой нулевого рода.
- Уравнение: (x^2 + y^2 – a^2)^3 + 27a^2x^2y^2 = 0.
-
Свойства метрики
- Астроид имеет четыре остроконечные сингулярности и две сложные остроконечные сингулярности на бесконечности.
- Двойная кривая астроида — крестообразная кривая с уравнением x^2y^2 = x^2 + y^2.
- Эволюция астроида — это астроид, который в два раза больше.
- Астроид имеет только одну касательную линию в каждом направлении ориентации.
-
Связанные кривые
- Кардиоида — эпициклоида с одним острием.
- Нефроид — эпициклоид с двумя остриями.
- Дельтовидная мышца — гипоциклоидная мышца с тремя выступами.
- Астроид Стоунера–Вольфарта — использование этой кривой в магнетизме.
- Спирограф