Оглавление [Скрыть]
- 1 Бирациональная геометрия
- 1.1 Бирациональная геометрия
- 1.2 Рациональные и бирациональные карты
- 1.3 Рациональность и бирациональная эквивалентность
- 1.4 Бирациональная эквивалентность гладких квадрик и Pn
- 1.5 Минимальные модели и разрешение сингулярностей
- 1.6 Бирациональные инварианты
- 1.7 Минималистичные модели больших размеров
- 1.8 Нерегулируемые разновидности
- 1.9 Бирациональная классификация многообразий Фано
- 1.10 Многообразия Фано
- 1.11 Нерациональные многообразия Фано
- 1.12 Группы бирациональных автоморфизмов
- 1.13 Приложения бирациональной геометрии
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Бирациональная геометрия
Бирациональная геометрия
-
Бирациональная геометрия
- Определяет изоморфизм алгебраических многообразий за пределами подмножеств меньшей размерности
- Изучает отображения, задаваемые рациональными функциями
-
Рациональные и бирациональные карты
- Рациональное отображение: морфизм из открытого подмножества одного многообразия в другое
- Бирациональное отображение: рациональное отображение с обратным
- Бирациональная эквивалентность: изоморфизм между открытыми подмножествами
-
Рациональность и бирациональная эквивалентность
- Многообразие рационально, если бирационально аффинному пространству
- Бирациональная эквивалентность плоской конической: пример с кругом
-
Бирациональная эквивалентность гладких квадрик и Pn
- Гладкая квадрическая гиперповерхность рациональна с точки зрения стереографической проекции
- Бирациональная эквивалентность квадрической поверхности: пример с P1 × P1
-
Минимальные модели и разрешение сингулярностей
- Каждое алгебраическое многообразие бирационально проективному многообразию
- Теорема Хиронаки: каждое многообразие бирационально гладкому проективному многообразию
- Минимальные модели: проективное многообразие минимально, если каноническое линейное расслоение имеет неотрицательную степень
-
Бирациональные инварианты
- Плюригенераторы: множество поколений Pd как бирациональные инварианты
- Измерение Кодайры: фундаментальный бирациональный инвариант
- Слагаемые ⊗kΩ1 и числа Ходжа: бирациональные инварианты для гладких проективных многообразий
- Фундаментальная группа: бирациональный инвариант для гладких комплексных проективных многообразий
-
Минималистичные модели больших размеров
- Минимальные модели: проективное многообразие минимально, если каноническое расслоение равно nef
- Гипотеза о минимальной модели: каждое многообразие либо покрывается рациональными кривыми, либо бирационально минимальному многообразию
- Доказательства: Мори в измерении 3, Биркар, Кашини, Хакон и Маккернан в более высоких измерениях
-
Нерегулируемые разновидности
- Многообразие неуправляемо, если покрыто рациональными кривыми
-
Бирациональная классификация многообразий Фано
- Биркар, Кашини, Хакон и Маккернан показали, что каждое нерегулируемое многообразие в поле нулевой характеристики бирационально пространству волокон Фано.
- Это приводит к проблеме бирациональной классификации слоистых пространств Фано и многообразий Фано.
-
Многообразия Фано
- Проективное многообразие X является Фано, если антиканоническое расслоение KX∗ этого вполне достаточно.
- Многообразия Фано можно считать алгебраическими многообразиями, наиболее похожими на проективное пространство.
- В размерности 2 каждое многообразие Фано (известное как поверхность Дель Пеццо) над алгебраически замкнутым полем является рациональным.
-
Нерациональные многообразия Фано
- В 1970-х годах было обнаружено, что, начиная с измерения 3, существует множество разновидностей Фано, которые не являются рациональными.
- Гладкие кубические 3-кратности нерациональны по Клеменсу–Гриффитсу, а гладкие квартичные 3-кратности нерациональны по Исковских–Манину.
- Проблема точного определения рациональности многообразий Фано далека от решения.
-
Группы бирациональных автоморфизмов
- Алгебраические многообразия сильно различаются по количеству бирациональных автоморфизмов.
- Каждое многообразие общего типа чрезвычайно жестко в том смысле, что его группа бирациональных автоморфизмов конечна.
- Группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства Pn над полем k, известная как кремонская группа Crn (k), является большой для n ≥ 2.
- Для n = 2 сложная кремонская группа Cr2(C) генерируется с помощью “квадратичного преобразования” и группы PGL(3,C) из автоморфизмов P2.
- Кремонская группа в размерностях n ≥ 3 остается загадкой: явный набор образующих неизвестен.
-
Приложения бирациональной геометрии
- Бирациональная геометрия нашла применение в других областях геометрии, особенно в традиционных задачах алгебраической геометрии.
- Программа minimal model была использована для построения пространств модулей многообразий общего типа.
- Бирациональная геометрия недавно нашла важные приложения в изучении K-устойчивости многообразий Фано и разработке явных инвариантов многообразий Фано.