Оглавление
Пространство CAT(k)
-
Определение и свойства CAT(k) пространств
- CAT(k) пространства – это метрические пространства, в которых геодезические являются кратчайшими путями.
- Они обладают свойством, что геодезические, соединяющие две точки, не могут быть короче, чем сумма длин двух сторон треугольника.
- Пространство CAT(0) также известно как пространство Адамара и обладает уникальными свойствами, такими как выпуклость функций расстояния.
-
Примеры и свойства CAT(k) пространств
- Пространство сферы является примером CAT(0) пространства.
- Проколотая плоскость не является CAT(0) пространством, но имеет CAT(0) геодезически выпуклые окрестности.
- Замкнутое подпространство от E3 не является CAT(k) пространством для любого k.
-
Свойства пространств Адамара
- Пространство Адамара является сжимаемым и имеет уникальный геодезический отрезок между любыми двумя точками.
- Функции расстояния в пространствах Адамара выпуклые.
-
Сравнительное неравенство Александрова
- Неравенство Александрова утверждает, что расстояние между вершиной геодезического треугольника и серединой противоположной стороны меньше, чем соответствующее расстояние в треугольнике сравнения на плоскости.
- Это неравенство следует из выпуклости геодезических и является ключевым в теории поверхностей с неположительной кривизной.