Оглавление
Четвертая группа Кляйна
-
Определение и история
- Четырехгруппа Клейна – это абелева группа порядка 4, созданная Феликсом Клейном в 1884 году.
- Она является наименьшей нециклической группой и имеет только одну другую группу четвертого порядка – циклическую группу 4-го порядка.
-
Презентации и геометрия
- Группа Клейна определяется таблицей Кэли с четырьмя элементами и может быть представлена как прямая сумма Z2⊕Z2.
- В двух измерениях она является группой симметрии ромба и прямоугольников, не являющихся квадратами.
- В трехмерном пространстве существует три различные группы симметрии, алгебраически эквивалентные четырехгруппе Клейна.
-
Алгебра и теория графов
- Теория Галуа связывает четырехгруппу Клейна с кубической резольвентой и объясняет существование формулы для корней четырехчастичных уравнений.
- Группа факторов кольца R××R× изоморфна четырехгруппе Клейна, а группа единиц кольца расщепленных комплексных чисел также приводит к четырехгруппе Клейна.
- Алмазный граф является простым графом, который допускает четырехгруппу Клейна как группу автоморфизмов.
-
Музыка
- В двенадцатитоновой технике четырехгруппа является основной группой перестановок.
-
Рекомендации
- Для дальнейшего чтения рекомендуется книга М. А. Армстронга “Группы и симметрия” и статья W. E. Барнса “Введение в абстрактную алгебру”.
Полный текст статьи: