Оглавление
Контактное кольцо
-
Определение цепного кольца
- Кольцо R является цепным, если для любых двух простых идеалов p и q, любые две строго возрастающие цепочки простых идеалов содержатся в максимальных строго возрастающих цепочках одинаковой длины.
- В геометрической ситуации длина цепочки n обычно равна разнице в размерах.
-
Универсально цепные кольца
- Кольцо называется универсально цепным, если все конечно порожденные алгебры над ним являются цепными кольцами.
- Формула размерности для универсально цепных колец утверждает, что равенство выполняется, если A является универсально цепным.
-
Примеры универсально цепных колец
- Почти все нетеровы кольца, появляющиеся в алгебраической геометрии, являются универсально цепными.
- Примеры включают полные нетеровы локальные кольца, домены дедекинда, кольца Коэна-Маколея и любые локализации универсальных цепных колец.
-
Примеры не универсально цепных колец
- Очень сложно построить примеры нетеровых колец, которые не являются универсально цепными.
- Первый пример был найден Масаеси Нагатой, который нашел двумерную нетерову локальную область, которая является цепной, но не универсально цепной.
-
Пример Нагаты
- Выберите поле k и формальный степенной ряд z в кольце S формальных степенных рядов по x над k.
- Определите z1 = z и zi+1=zi/x–ai.
- Пусть R – кольцо, порожденное x и всеми элементами zi.
- Пусть m – идеал (x), а n – идеал, порожденный x-1 и всеми элементами zi.
- Локальное кольцо Rm является регулярным локальным кольцом размерности 1, а Rn является регулярным нетеровым локальным кольцом размерности 2.
- Пусть B – локализация R относительно всех элементов, не входящих ни в m, ни в n.
- B – двумерное нетерово полулокальное кольцо с двумя максимальными идеалами, mB и nB.
- Пусть I – радикал Якобсона от B, и пусть A = k+I.
- Кольцо A является локальной областью размерности 2 и цепным, но не универсально цепным.
- Пример Нагаты также является квази-превосходным кольцом.