Оглавление
- 1 Делитель (алгебраическая геометрия)
- 1.1 Делители в алгебраической геометрии
- 1.2 Делители на римановой поверхности
- 1.3 Делители Вейля на интегральных схемах
- 1.4 Когерентные пучки и когомологии
- 1.5 Делители Картье
- 1.6 Делители Вейля и их классы
- 1.7 Примеры делителей Вейля
- 1.8 Идеальные группы классов
- 1.9 Канонический делитель
- 1.10 Делители Картье
- 1.11 Сравнение делителей Вейля и Картье
- 1.12 Изоморфизмы и делители Картье
- 1.13 Делители Вейля и факториальные схемы
- 1.14 Эффективные делители Картье
- 1.15 Лемма Кодайры и функциональность
- 1.16 Первый класс Черна и линейные расслоения
- 1.17 Глобальные сечения и линейные системы
- 1.18 Положительность делителей Картье
- 1.19 Теоремы Римана–Роха и Хирцебруха–Римана–Роха
- 1.20 Классификация многообразий и канонический делитель
- 1.21 Q-делители и их свойства
- 1.22 Теорема Гротендика–Лефшеца о гиперплоскости
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Делитель (алгебраическая геометрия)
Делитель (алгебраическая геометрия)
-
Делители в алгебраической геометрии
- Делители обобщают подмногообразия коразмерности-1.
- Используются делители Картье и Вейля.
- Делители Вейля основаны на делимости в полях целых чисел.
-
Делители на римановой поверхности
- Делители на компактной римановой поверхности являются свободными абелевыми группами.
- Степень делителя равна сумме его коэффициентов.
- Главные делители определяются как конечные суммы.
- Канонический делитель определяет род поверхности.
-
Делители Вейля на интегральных схемах
- Делитель Вейля – формальная сумма простых делителей.
- Делитель эффективен, если все коэффициенты неотрицательны.
- Порядок обращения в нуль функции вдоль простого делителя конечен и аддитивен.
- Главный делитель Вейля связан с рациональной функцией.
-
Когерентные пучки и когомологии
- Делитель Вейля определяет когерентный пучок.
- Каноническое сечение – изображение глобального раздела.
- Когомологии пучка содержат информацию о функциях на делителе.
-
Делители Картье
- Делители Картье локально определяются одним уравнением.
- На гладких многообразиях дивизоры Вейля и Картье совпадают.
- Делители Картье связаны с когомологиями.
-
Делители Вейля и их классы
- Делитель Вейля соответствует рефлексивному пучку первого ранга.
- Группа классов делителей Вейля Cl(X) является частным от Div(X) по подгруппе основных делителей Вейля.
- Два делителя линейно эквивалентны, если их разница принципиальна.
-
Примеры делителей Вейля
- Для аффинного пространства An над полем k группа классов делителей равна нулю.
- Для проективного пространства Pn над k группа классов делителей порождается классом H.
- Для алгебраической кривой X группа классов делителей изоморфна Z, сгенерированным H.
-
Идеальные группы классов
- Для кольца целых чисел числового поля группа классов делителей Cl(R) конечна и абелева.
- Понимание идеальных групп классов важно для алгебраической теории чисел.
-
Канонический делитель
- Для нормального многообразия X канонический делитель KX соответствует линейному расслоению дифференциальных форм высшей степени на гладком локусе U.
- Пример: для Pn канонический делитель соответствует рациональной дифференциальной форме ω.
-
Делители Картье
- Делитель Картье на X – это глобальная часть MX×/OX×.
- Делитель Картье можно описать как коллекцию {(Ui, fi)}, где Ui – открытая оболочка X, fi – часть MX× на Ui.
- Дробный идеальный пучок J обратим, если для каждого x существует открытая окрестность U x, где J равно OU⋅f.
- Каждый делитель Картье определяет обратимый дробный идеальный пучок.
-
Сравнение делителей Вейля и Картье
- Делитель Вейля D является делителем Картье тогда и только тогда, когда O(D) обратим.
- Если O(D) обратим, то существует открытая оболочка {Ui}, где O(D) ограничивается тривиальным расслоением на каждом Ui.
-
Изоморфизмы и делители Картье
- Изоморфизм OU → O(D) определяет раздел O(D) в пользовательском интерфейсе.
- Делитель Картье определяется как подпоследовательность пучка рациональных функций.
- Делитель Картье может быть использован для получения связки L(D).
-
Делители Вейля и факториальные схемы
- Делитель Вейля определяется на интегральной нетеровой схеме X.
- Факториальная схема X имеет уникальные области факторизации.
- На факторной схеме каждый делитель Вейля локально главный.
-
Эффективные делители Картье
- Эффективные делители Картье соответствуют идеальным пучкам.
- Сумма двух эффективных делителей Картье соответствует умножению идеальных пучков.
- Относительный эффективный делитель Картье определяется как плоский над S.
-
Лемма Кодайры и функциональность
- Лемма Кодайры утверждает, что для неприводимого проективного многообразия и большого делителя Картье, существует эффективный делитель Картье.
- Функциональность морфизмов интегральных локально нетеровых схем позволяет переносить делители из одной схемы в другую.
-
Первый класс Черна и линейные расслоения
- Первый класс Черна определяет гомоморфизм от группы дивизоров Картье к группе дивизоров Вейля.
- Первый класс Черна является изоморфизмом для регулярных схем.
- Линейные расслоения могут быть определены через рациональные сечения.
-
Глобальные сечения и линейные системы
- Делитель Картье эффективен, если его локальные определяющие функции регулярны.
- Делитель Картье линейно эквивалентен эффективному делителю, если его линейный пучок имеет ненулевое глобальное сечение.
- Проективное пространство прямых в H0(X, O(D)) может быть отождествлено с набором эффективных делителей.
-
Положительность делителей Картье
- Морфизм от многообразия X к Pn определяет линейное расслоение L на X.
- Любой линейный пучок L с n+1 глобальными участками определяет морфизм X → Pn.
- Делители Картье могут быть положительными, достаточными или nef.
-
Теоремы Римана–Роха и Хирцебруха–Римана–Роха
- Теорема Римана–Роха вычисляет размерность H0(X, O(D)) для проективной кривой.
- Теорема Хирцебруха–Римана–Роха обобщает теорему Римана–Роха для проективных многообразий любой размерности.
-
Классификация многообразий и канонический делитель
- Канонический делитель KX играет ключевую роль в классификации многообразий.
- Размерность Кодайры X измеряет рост векторных пространств H0(X, mKX) с увеличением m.
- Измерение Кодайры делит n-мерные многообразия на n + 2 класса, переходя от положительной кривизны к отрицательной.
-
Q-делители и их свойства
- Q-делитель (Вейля) – это конечная формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий коразмерности-1 с рациональными коэффициентами.
- Q-делитель эффективен, если коэффициенты неотрицательны.
- Q-делитель D равен Q-делителю Картье, если mD является делителем Картье для некоторого натурального числа m.
- Если X является гладким, то каждый Q-делитель равен Q-Картье.
- Округление Q-делителя в меньшую сторону равно делителю, где ⌊a⌋ является наибольшим целым числом, меньшим или равным a.
- Сноп O(D) определяется как O(⌊D⌋).
-
Теорема Гротендика–Лефшеца о гиперплоскости
- Теорема Лефшеца утверждает, что для гладкого комплексного проективного многообразия X размерности не менее 4 и гладкого достаточного делителя Y в X ограничение Pic(X) → Pic(Y) является изоморфизмом.
- Гротендик обобщил теорему Лефшеца на произвольные базовые поля, сингулярные многообразия и локальные кольца.
- Если R – полное локальное кольцо пересечений, которое является факториальным в коразмерности не более 3, то R – уникальная область факторизации.
- Размерная граница здесь оптимальна, как показано на примере трехмерного четырехугольного конуса.