Дельта-функция Дирака

• Определение и свойства дельта-функции Дирака

  • Дельта-функция Дирака — это математическая функция, которая равна нулю везде, кроме точки x = 0, где она равна бесконечности. 
  • Она не является обычной функцией, так как не удовлетворяет условиям непрерывности и дифференцируемости. 
  • Дельта-функция используется для моделирования точечной массы, равной нулю, и имеет интеграл, равный единице. 

• Интегральное представление

  • Интеграл от дельта-функции равен функции, интегрируемой по кумулятивной функции распределения. 
  • Интеграл от дельта-функции по непрерывной функции может быть интерпретирован как интеграл Римана-Стилтьеса. 
  • Все высшие моменты дельта-функции равны нулю, включая характеристическую функцию и функцию, генерирующую момент. 

• Дельта-функция как распределение

  • Дельта-функция рассматривается как линейный функционал в пространстве тестовых функций, который удовлетворяет определенным условиям непрерывности. 
  • Она является распределением нулевого порядка с компактной поддержкой. 
  • Дельта-функция может быть определена как производная от распределения ступенчатой функции Хевисайда. 

• Обобщения дельта-функции

  • Дельта-функция может быть определена в многомерном евклидовом пространстве как мера, имеющая интеграл, равный функции, интегрируемой по кумулятивной функции распределения. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.