Оглавление
Диффеоморфизм Аносова
-
Определение и свойства отображений Аносова
- Отображения Аносова имеют гиперболическую структуру на касательном расслоении.
- Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы и образуют открытое подмножество отображений C1.
- Не каждое многообразие допускает диффеоморфизм Аносова, например, на сфере их нет.
-
Примеры и классификация
- Классическим примером диффеоморфизма Аносова является отображение кота Арнольда.
- Проблема классификации многообразий, допускающих диффеоморфизмы Аносова, сложна и не решена для размерности больше 3.
- Единственными известными примерами являются инфра-многообразия.
-
Транзитивность и эргодичность
- Диффеоморфизмы Аносова коразмерности один транзитивны.
- Потоки Аносова коразмерности один на многообразиях размерности больше трех транзитивны, если основной спектр содержится в двух тонких кольцах.
- Неизвестно, являются ли диффеоморфизмы Аносова транзитивными, но потоки Аносова не обязательно топологически транзитивны.
-
Поток Аносова на римановых поверхностях
- Поток Аносова на касательном расслоении римановой поверхности отрицательной кривизны можно понять через поток на касательном расслоении полуплоскостной модели гиперболической геометрии Пуанкаре.
- Поток Аносова связан с геодезическим потоком на PSL(2,R) и T1M.
- Векторные поля в одном подобъеме расширяются, в другом остаются неизменными, в третьем сжимаются.
-
Геометрическая интерпретация
- При воздействии на точку z = i из верхней полуплоскости, g_t соответствует геодезической на верхней полуплоскости.
- Кривые h_t и h_t называются гороциклами и соответствуют движению векторов нормалей к горосфере.