Оглавление
- 1 Длина модуля
- 1.1 Определение длины модуля
- 1.2 Свойства длины модуля
- 1.3 Примеры и приложения
- 1.4 Использование в теории множественности
- 1.5 Пример о проективном многообразии
- 1.6 Нуль и полюса аналитической функции
- 1.7 Локальное кольцо и модуль частных
- 1.8 Мероморфные функции и теорема Вейерштрасса
- 1.9 Связанные темы
- 1.10 Рекомендации
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Длина модуля
Длина модуля
-
Определение длины модуля
- Длина модуля M над кольцом R — это длина самой длинной цепочки подмодулей M.
- Длина модуля равна размеру, если R — поле.
- В коммутативной алгебре модуль над нетеровым кольцом имеет конечную длину только при нулевой размерности по Круллю.
-
Свойства длины модуля
- Конечная длина модуля означает, что он конечно порожден.
- Длина кольца R — это длина самой длинной цепочки идеалов.
- Длина модуля равна сумме длин его подмодулей.
-
Примеры и приложения
- Конечномерные векторные пространства имеют конечную длину.
- Артиновы модули служат для определения порядка обращения в нуль в теории пересечений.
- Длина циклической группы Z/nZ равна числу простых множителей n.
-
Использование в теории множественности
- Кратность точки определяется как длина артинова локального кольца, связанного с этой точкой.
- Порядок обращения в нуль ненулевой алгебраической функции определяется как длина локального кольца вдоль подмногообразия.
-
Пример о проективном многообразии
- Порядок обращения в нуль рациональной функции на проективной поверхности определяется как разность порядков обращения в нуль её числителя и знаменателя.
-
Нуль и полюса аналитической функции
- Порядок обращения в нуль обобщает порядок нулей и полюсов для мероморфных функций.
- Информация о нулях и полюсах может быть закодирована с помощью длины модулей.
-
Локальное кольцо и модуль частных
- Локальное кольцо OV,X является C[z]_{(z-1)}.
- Модуль частных C[z]_{(z-1)}((z-4i)(z-1)2) изоморфен частному модулю C[z]_{(z-1)}((z-1)2).
- Длина модуля равна 2, так как существует максимальная цепочка подмодулей.
-
Мероморфные функции и теорема Вейерштрасса
- Мероморфная функция умножается на F = f/g, где f и g — линейные многочлены.
- Теорема Вейерштрасса о факторизации позволяет разложить мероморфную функцию на произведение линейных многочленов.
-
Связанные темы
- Ряд Гильберта–Пуанкаре
- Делитель Вейля
- Кольцо для чау-чау
- Теория пересечений
- Гипотезы о множественности Серра
- Схема Гильберта
- Теорема Крулля–Шмидта
-
Рекомендации
- Стивен Х. Вайнтрауб, Теория представлений конечных групп AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6
- Аллен Альтман, Стивен Клейман, термин из коммутативной алгебры
- Проект “Стеки”