Оглавление [Скрыть]
Область Сигеля
-
Определение и классификация областей Зигеля
- Область Зигеля – это открытое подмножество комплексного аффинного пространства, ограниченное выпуклым конусом и положительно определенной квадратичной формой.
- Классификация областей Зигеля включает типы 1, 2 и 3, различающиеся по количеству измерений и типам конуса и формы.
-
Свойства областей Зигеля
- Каждая область Зигеля является однородным пространством, а в размерности 1 – единичным шаром.
- В размерности 2 существуют два типа областей Зигеля: произведение двух одномерных шаров или 2-мерный комплексный шар.
- В размерности 3 существуют три типа областей Зигеля, включая произведение трех одномерных шаров.
-
Ограниченные однородные области
- Ограниченная однородная область – это связное ограниченное подмножество, которое является однородным и симметричным.
- Эли Картан классифицировал однородные ограниченные области, показав, что они являются эрмитовыми симметричными пространствами.
- Пятецкий-Шапиро нашел примеры областей Зигеля, которые не являются симметричными, что опровергает гипотезу Картана.
-
j-алгебры и их связь с областями Зигеля
- j-алгебра – это алгебра Ли группы автоморфизмов однородной ограниченной области, удовлетворяющая определенным свойствам.
- Каждая j-алгебра является алгеброй Ли транзитивной группы автоморфизмов однородной ограниченной области.
- Существует соответствие между однородными ограниченными областями и j-алгебрами, но не 1:1.