Оглавление
Дополненная решетка
-
Определение и основные свойства дополненной решетки
- Дополненная решетка — ограниченная решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1.
- Каждый элемент a имеет дополнение b, удовлетворяющее a ∨ b = 1 и a ∧ b = 0.
- Дополнения могут быть не уникальными.
- Относительно дополненная решетка — решетка, где каждый интервал [c, d] является дополненной решеткой.
-
Ортодополнение и ортомодулярные решетки
- Ортодополнение — инволюция, изменяющая порядок элементов и сопоставляющая каждый элемент с дополнением.
- Ортомодулярная решетка — ортодополненная решетка, удовлетворяющая слабой форме модулярного закона.
- В ограниченных распределительных решетках дополнения уникальны.
-
Примеры и приложения
- Пятиугольная решетка N5 имеет два дополнения.
- Алмазная решетка M3 не допускает ортодополнения.
- Решетка M4 допускает 3 ортодополнения.
- Шестиугольная решетка допускает уникальное ортодополнение, но не уникальное дополнение.
- Булевы алгебры являются частным случаем ортодополненных решеток.
- Ортодополненные решетки используются в квантовой логике.
-
Ортомодулярные решетки в квантовой логике
- Ортомодулярные решетки важны для изучения квантовой логики.
- Гаррет Биркхофф и Джон фон Нейман заметили, что логическое исчисление в квантовой логике формально неотличимо от исчисления линейных подпространств гильбертова пространства.
- Замкнутые подпространства гильбертова пространства образуют ортомодулярную решетку.