Дробное исчисление
-
Дробное исчисление
- Раздел математического анализа, изучающий степени оператора дифференцирования и интегрирования.
- Обобщает классическое исчисление.
- Термин «полномочия» относится к итеративному применению оператора.
-
История дробного исчисления
- Впервые появилось в письме Лейбница в 1695 году.
- Введено Абелем в 1826 году.
- Лиувилль заложил основы в 1832 году.
- Хевисайд применил дробные дифференциальные операторы в 1890 году.
-
Вычисление дробного интеграла
- Определенный интеграл от 0 до x.
- Повторение процесса дает дробный интеграл.
- Формула Коши обобщает для действительного n.
-
Полугрупповое свойство дробно-дифференцированных операторов
- Порядок применения оператора J не имеет значения.
- Это свойство называется полугрупповым.
-
Дробный интеграл Римана–Лиувилля
- Классическая форма дробного исчисления.
- Определяется на основе рядов Фурье.
- Существует в верхней и нижней формах.
-
Дробные интегралы
- Дробный интеграл Адамара: интеграл по положительной вещественной оси.
- Дробный интеграл Атангана–Баляну: интеграл от непрерывной функции.
-
Дробные производные
- Дробная производная Римана–Лиувилля: вычисляется с использованием правила Лагранжа.
- Дробная производная Капуто: вычисляется с использованием интеграла от функции.
- Дробная производная Капуто–Фабрицио: определяется с неособым ядром.
- Дробная производная Атангана–Баляну: основана на обобщенной функции Миттага-Леффлера.
-
Другие типы дробных производных
- Производная Грюнвальда–Летникова.
- Производная Сонина–Летникова.
- Производная Лиувилля.
- Производная Капуто.
- Производная Адамара.
- Производная Маршо.
- Производная Рисса.
- Производная Миллера–Росса.
- Производное Вейля.
- Производная Эрдели–Кобера.
- Fα-производная.
-
Новые дробные производные
- Производная от Коимбры.
- Производное Катугамполы.
- Производная Гильфера.
- Производная Дэвидсона.
- Производная Чена.
- Производное от Капуто Фабрицио.
- Производное от Атангана–Баляну.
-
Природа дробной производной
- a-я производная функции f в момент x является локальным свойством только при a.
-
Определение и свойства дробных производных
- Дробные производные зависят от всех значений функции, даже далеко от точки.
- Операция с дробной производной включает граничные условия.
- Дробная производная порядка a часто определяется с помощью интегральных преобразований.
-
Обобщения и функциональные теории
- Оператор Эрдели–Кобера обобщает дробный интеграл Римана–Лиувилля и интеграл Вейля.
- Функциональное исчисление изучает функции более общие, чем степени.
- Теория псевдодифференцирующих операторов учитывает степени D.
-
Приложения в физике и инженерии
- Частичное сохранение массы используется для моделирования потока жидкости.
- Электрохимический анализ связывает концентрацию субстрата с силой тока.
- Проблема стока грунтовых вод обобщается с помощью дробных производных.
- Уравнение дисперсии дробной адвекции полезно для моделирования потока загрязняющих веществ.
- Пространственно-временные модели уравнений дробной диффузии описывают аномальные диффузионные процессы.
- Структурные модели демпфирования используют дробные производные для моделирования вязкоупругого демпфирования.
- ПИД-регуляторы могут быть обобщены для использования дробных порядков.
- Уравнения акустических волн для сложных сред описывают затухание, подчиняющееся степенному закону частоты.
-
Дробное уравнение Шредингера
- Дробное уравнение Шредингера используется в квантовой теории.
- Дробное уравнение Шредингера переменного порядка обобщает дробное уравнение Шредингера.
-
Дробная квантовая производная Рисса
- Оператор Лапласа Δ = ∂2/∂r2
- Оператор (−θ2Δ)β(t) /2 является дробной квантовой производной Рисса переменного порядка
-
Акустическое ослабление
- Авторегрессионная частично интегрированная скользящая средняя
- Инициализированное дробное исчисление
- Нелокальный оператор
-
Другие дробные теории
- Система дробного порядка
- Дробное преобразование Фурье
- Функция Прабхакара
-
Записи
- Рекомендации
- Дальнейшее чтение
- Статьи, посвященные истории дробного исчисления
- Книги
- Внешние ссылки
-
Журнал дробного исчисления и прикладного анализа
- ISSN 1314-2224 2015—
- Коллекция книг, статей, препринтов и т.д.