Оглавление
Двойная кривая
-
Определение дуальной кривой
- Дуальная кривая плоскости C состоит из набора прямых, касательных к C.
- Отображение от кривой к её двойнику отправляет каждую точку в точку, двойственную её касательной линии.
- Если C алгебраическая, то её двойственность также алгебраическая, и степень двойственности известна как класс исходной кривой.
-
Уравнения дуальности
- Уравнение дуальности C в линейных координатах известно как тангенциальное уравнение C.
- Условие касания прямой к кривой выражается через тангенциальное уравнение.
- Исключение p, q, r и λ из уравнений даёт уравнение двойной кривой.
-
Примеры и свойства
- Коническая кривая имеет двойственность, определяемую исключением p, q, r и λ.
- Дуальность дуального дуала даёт исходную кривую.
- Свойства исходной кривой соответствуют двойственным свойствам на двойной кривой.
- Степень дуальности – это количество касательных к оси X, которые могут быть проведены через данную точку.
-
Обобщения и примеры
- В более высоких измерениях касательное пространство в каждой точке даёт семейство гиперплоскостей, определяющих двойственную гиперповерхность.
- Двойственное многообразие точки (a0 : … : an) является гиперплоскостью.
- Двойной многоугольник имеет двойственное многогранное многообразие.
- Любой выпуклый многогранник или конус имеет двойственное многогранное многообразие.