Оглавление
- 1 Двойственность Пуанкаре
- 1.1 Теорема о двойственности Пуанкаре
- 1.2 История и формулировка
- 1.3 Двойственные клеточные структуры
- 1.4 Естественность
- 1.5 Формулировка билинейных пар
- 1.6 Применение к эйлеровым характеристикам
- 1.7 Формулировка изоморфизма Тома
- 1.8 Двойственность Пуанкаре и изоморфизм Тома
- 1.9 Обобщения и связанные результаты
- 1.10 Развитие теории гомологии
- 1.11 Другие формы геометрической двойственности
- 1.12 Алгебраические объекты и пространства
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Двойственность Пуанкаре
Двойственность Пуанкаре
-
Теорема о двойственности Пуанкаре
- Теорема утверждает, что группы гомологий и когомологий ориентированных замкнутых многообразий изоморфны.
- Изоморфизм определяется через фундаментальный класс многообразия.
-
История и формулировка
- Пуанкаре сформулировал теорему в 1893 году, но не доказал её.
- В 1895 году Пуанкаре попытался доказать теорему, но его доказательство было критиковано.
- Современная формулировка теоремы была дана в 1930-х годах Эдуардом Чехом и Хасслером Уитни.
-
Двойственные клеточные структуры
- Для триангулированного многообразия существует двойственное многогранное разложение.
- Двойственные ячейки образуют непрерывную декомпозицию многообразия.
- Изоморфизм цепных комплексов доказывает двойственность Пуанкаре.
-
Естественность
- Изоморфизмы двойственности естественны в смысле непрерывных отображений.
- Естественность не имеет места для произвольных непрерывных отображений.
-
Формулировка билинейных пар
- Существуют билинейные отображения, представляющие пары двойственности.
- Эти пары двойственности связаны с двойственностью Пуанкаре и теоремой об универсальном коэффициенте.
-
Применение к эйлеровым характеристикам
- Замкнутые нечетные многообразия имеют нулевую эйлерову характеристику.
- Ограничивающие многообразия имеют четную эйлерову характеристику.
-
Формулировка изоморфизма Тома
- Двойственность Пуанкаре связана с теоремой Тома об изоморфизме.
- Изоморфизм Тома связывает группы гомологий и когомологий через нормальный дисковый пучок диагонали.
-
Двойственность Пуанкаре и изоморфизм Тома
- Изоморфизм Тома применяется к ориентированному расслоению TM.
- Карта H^iM ⊗ H^jM → H^(i+j-n)M является продуктом пересечения.
- Аналогичный аргумент с теоремой Кюннета дает форму связывания кручения.
-
Обобщения и связанные результаты
- Теорема о двойственности Пуанкаре–Лефшеца обобщает для многообразий с границей.
- В неориентируемом случае можно дать утверждение, не зависящее от ориентируемости.
- Двойственность Бланчфилда обеспечивает изоморфизм между гомологиями и когомологиями.
-
Развитие теории гомологии
- С 1955 года стало ясно, что гомологию H^BOS_* можно заменить другими теориями.
- Существует общая теорема Пуанкаре о двойственности для обобщенной теории гомологий.
-
Другие формы геометрической двойственности
- Двойственность Вердье обобщает для аналитических пространств и схем.
- Гомология пересечений разработана для стратифицированных пространств.
- В алгебраической топологии существуют другие формы двойственности, такие как двойственность Лефшеца и двойственность Александера.
-
Алгебраические объекты и пространства
- Комплекс Пуанкаре ведет себя как сингулярный цепной комплекс многообразия.
- Пространство Пуанкаре — это пространство, сингулярный цепной комплекс которого является комплексом Пуанкаре.
- Пространства Пуанкаре не всегда являются многообразиями, но их неспособность быть многообразиями можно измерить с помощью теории препятствий.