Оглавление [Скрыть]
- 1 Uniform space
- 1.1 Определение равномерного пространства
- 1.2 Основные свойства равномерных пространств
- 1.3 Определение через окрестности
- 1.4 Пример метрического пространства
- 1.5 Определение через псевдометрики
- 1.6 Определение через равномерные покрытия
- 1.7 Определение равномерных пространств
- 1.8 Топология равномерных пространств
- 1.9 Униформизируемые пространства
- 1.10 Униформные непрерывные функции
- 1.11 Категории и изоморфизмы
- 1.12 Полнота равномерных пространств
- 1.13 Хаусдорфово завершение
- 1.14 Определение однородной структуры
- 1.15 Хаусдорфовость и изоморфизм
- 1.16 Примеры однородных структур
- 1.17 История и рекомендации
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Единое пространство
Uniform space
-
Определение равномерного пространства
- Равномерное пространство — это множество с дополнительной структурой, используемой для определения равномерных свойств, таких как полнота, непрерывность и сходимость.
- Равномерные пространства обобщают метрические пространства и топологические группы, но формулируют самые слабые аксиомы, необходимые для большинства доказательств в анализе.
-
Основные свойства равномерных пространств
- В равномерных пространствах формализуются понятия относительной близости и близости точек.
- В отличие от обычных топологических пространств, в равномерных пространствах можно говорить о близости точек и относительной близости.
-
Определение через окрестности
- Равномерное пространство определяется через систему окрестностей, удовлетворяющую определенным аксиомам.
- Окрестности называются “энтуажи” и определяются как множества пар точек, близких к данной точке.
- Энтуажи образуют фильтр на множестве пар точек.
-
Пример метрического пространства
- В метрическом пространстве (X, d) множества Ua = {(x, y) ∈ X × X: d(x, y) ≤ a} образуют фундаментальную систему энтуажи.
- Две точки x и y считаются Ua-близкими, если расстояние между ними не превышает a.
-
Определение через псевдометрики
- Равномерные пространства могут быть определены через системы псевдометрик.
- В частности, для псевдометрического f: X × X → R, множества Ua = f-1([0, a]) образуют фундаментальную систему энтуажи.
- Равномерное пространство, определенное через псевдометрики, называется “пространством с псевдометрикой”.
-
Определение через равномерные покрытия
- Равномерное пространство (X, Θ) — это множество X с семейством покрытий Θ, образующих фильтр при упорядочении по звездному уточнению.
- Звездное уточнение означает, что для любого покрытия P и любой точки x, существует покрытие Q, которое содержит x и является звездным уточнением P.
- Равномерное пространство через равномерные покрытия определяется через аксиомы, включающие условия на звездное уточнение и фильтрацию.
-
Определение равномерных пространств
- Равномерные пространства определяются через энтуры и равномерные покрытия.
- Энтуры — это множества, содержащие типичные окрестности точек.
- Равномерные покрытия — это множества, содержащие энтуры.
-
Топология равномерных пространств
- Равномерные пространства становятся топологическими пространствами через определение открытых множеств.
- Непустые множества открыты, если для каждой точки существует энтура, содержащая эту точку.
- Топология, определенная равномерной структурой, называется индуцированной.
-
Униформизируемые пространства
- Топологическое пространство называется униформизируемым, если существует равномерное покрытие, совместимое с топологией.
- Униформизируемые пространства являются полностью регулярными и хаусдорфовыми.
- Униформизируемые пространства могут быть метризуемыми, если их равномерность определяется счетным семейством псевдометрик.
-
Униформные непрерывные функции
- Функции между равномерными пространствами называются униформно непрерывными, если их образы энтур являются энтурами.
- Униформно непрерывные функции сохраняют равномерные свойства.
-
Категории и изоморфизмы
- Равномерные пространства с равномерными отображениями образуют категорию.
- Изоморфизмы между равномерными пространствами называются равномерными изоморфизмами.
- Равномерные вложения — это инъективные равномерно непрерывные отображения.
-
Полнота равномерных пространств
- Полнота равномерных пространств определяется через сходимость фильтров.
- Компактные хаусдорфовы пространства являются полными равномерными пространствами.
- Полные равномерные пространства обладают важным свойством: униформно непрерывные функции из плотного множества могут быть расширены на все пространство.
-
Хаусдорфово завершение
- Каждое равномерное пространство имеет хаусдорфово завершение.
- Хаусдорфово завершение уникально до изоморфизма и может быть определено через минимальные фильтры.
- Карта, определяющая хаусдорфово завершение, может быть не инъективной, если пространство не хаусдорфово.
-
Определение однородной структуры
- Однородная структура определяется как множество пар минимальных фильтров Коши, имеющих общий небольшой набор.
- Декорации формируют фундаментальную систему окружения.
- Набор i(X) является плотным подмножеством Y.
-
Хаусдорфовость и изоморфизм
- Если X является Хаусдорфом, i является изоморфизмом на i(X).
- i(X) всегда является Хаусдорфовым и называется однородным пространством Хаусдорфа, связанным с X.
-
Примеры однородных структур
- Пример с метриками: d1(x,y) = |x-y| и d2(x,y) = |ex-ey|.
- Топологическая группа G становится однородным пространством при определении антуража как набора, содержащего район из идентификационного элемента.
-
История и рекомендации
- Андре Вейль дал первое определение однородной структуры в 1937 году.
- Николас Бурбаки и Джон Тьюки внесли значительный вклад в развитие теории.
- Рекомендации включают книги Бурбаки, Энгелькинга, Исбелла, Джеймса и Тьюки.