Оглавление
Существенная нижняя граница и существенная верхняя граница
-
Определение существенной нижней границы и существенного супремума
- Существенная нижняя граница и существенный супремум адаптированы для теории измерений и функционального анализа.
- Существенная нижняя граница игнорирует значения функции в наборе точек с нулевой мерой.
- Существенный супремум игнорирует значения функции в наборе точек с нулевой мерой.
-
Определение верхней границы и нижней границы
- Верхняя граница функции f определяется как наименьшее значение, которое больше или равно значениям функции повсюду.
- Нижняя граница функции f определяется как наибольшее значение, которое меньше или равно значениям функции повсюду.
-
Определение существенной верхней границы и существенной нижней границы
- Существенная верхняя граница функции f определяется как наименьшее значение, которое больше или равно значениям функции почти везде.
- Существенная нижняя граница функции f определяется как наибольшее значение, которое меньше или равно значениям функции почти везде.
-
Примеры
- Функция f(x) = {5, если x = 1, -4, если x = -1, 2, иначе} имеет существенную верхнюю границу и существенную нижнюю границу 2.
- Функция f(x) = {x^3, если x ∈ Q, arctan x, если x ∈ R \ Q} имеет существенную верхнюю границу π/2 и существенную нижнюю границу -π/2.
- Функция f(x) = x^3 имеет существенную верхнюю границу +∞ и существенную нижнюю границу -∞.
- Функция f(x) = {1/x, если x ≠ 0, 0, если x = 0} имеет существенную верхнюю границу +∞.
-
Свойства
- Если μ(X) > 0, то inf f ≤ ess inf f ≤ ess sup f ≤ sup f.
- Если μ(X) = 0, то +∞ = ess inf f ≥ ess sup f = -∞.
- Если существенные максимумы двух функций f и g неотрицательны, то ess sup(fg) ≤ (ess sup f)(ess sup g).
-
Пространство L∞(S, μ)
- Пространство L∞(S, μ) состоит из всех измеримых функций, которые ограничены почти везде.
- Полунорма пространства L∞(S, μ) равна ess sup |f| если μ(S) ≠ 0, и 0 если μ(S) = 0.