Оглавление
- 1 Elliptic integral
- 1.1 Определение эллиптических интегралов
- 1.2 Аргументы и обозначения
- 1.3 Неполный эллиптический интеграл первого рода
- 1.4 Неполный эллиптический интеграл второго рода
- 1.5 Неполный эллиптический интеграл третьего рода
- 1.6 Определение и свойства эллиптических интегралов
- 1.7 Полный эллиптический интеграл первого рода
- 1.8 Связь с гамма-функцией
- 1.9 Продолженные дроби и инвертирование
- 1.10 Полный эллиптический интеграл второго рода
- 1.11 Определение и свойства
- 1.12 Вычисление E(k)
- 1.13 Дифференциальное уравнение и производные
- 1.14 Полный эллиптический интеграл третьего рода
- 1.15 Частичные производные Π(n, k)
- 1.16 Функция Якоби
- 1.17 Соотношение Лежандра
- 1.18 Общий случай
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Эллиптический интеграл – Arc.Ask3.Ru
Elliptic integral
-
Определение эллиптических интегралов
- Эллиптические интегралы определяются как функции, выраженные через интегралы от рациональных функций и полиномов.
- Они не могут быть выражены через элементарные функции, за исключением некоторых случаев.
-
Аргументы и обозначения
- Неполные эллиптические интегралы имеют два аргумента, полные — один.
- Аргументы выражаются через модульный угол, эксцентриситет и параметр.
- Используются различные обозначения для аргументов, такие как φ, k, m, u.
-
Неполный эллиптический интеграл первого рода
- Определяется как интеграл от 0 до φ от 1/√(1-k^2 sin^2 θ) до 1.
- Имеет алгебраическую форму, выраженную через интеграл от 0 до x от 1/(1-t^2)(1-k^2 t^2) до 1.
- Имеет теорему сложения, связывающую его с другими эллиптическими интегралами.
-
Неполный эллиптический интеграл второго рода
- Определяется как интеграл от 0 до φ от 1/(1-k^2 sin^2 θ) до 1.
- Имеет алгебраическую форму, выраженную через интеграл от 0 до x от 1/(1-k^2t^2)/(1-t^2) до 1.
-
Неполный эллиптический интеграл третьего рода
- Определяется как интеграл от 0 до φ от 1/(1-n sin^2 θ) до 1.
- Имеет алгебраическую форму, выраженную через интеграл от 0 до x от 1/(1-t^2)/(1-n t^2) до 1.
-
Определение и свойства эллиптических интегралов
- Эллиптические интегралы определяются как интегралы от функций, зависящих от синуса и косинуса.
- Интегралы могут быть выражены через неполные интегралы и гипергеометрические функции.
-
Полный эллиптический интеграл первого рода
- Полный эллиптический интеграл первого рода K(k) определяется как интеграл от функции, зависящей от косинуса.
- K(k) может быть выражен через гипергеометрические функции и арифметико-геометрическое среднее.
- K(k) имеет асимптотические выражения и дифференциальное уравнение.
-
Связь с гамма-функцией
- K(k) может быть выражен через гамма-функцию при определенных значениях k.
- Например, для k = e5πi/6, K(k) = e-πi/12Γ3(1/3)3/4423π.
-
Продолженные дроби и инвертирование
- K(k) может быть представлен в виде продолженной дроби.
- Для инвертирования периода используется модулярная лямбда функция.
-
Полный эллиптический интеграл второго рода
- Полный эллиптический интеграл второго рода E(k) определяется как интеграл от функции, зависящей от синуса и косинуса.
- E(k) связан с эллипсом и его окружностью.
- E(k) может быть выражен через гипергеометрические функции и арифметико-геометрическое среднее.
-
Определение и свойства
- Полный эллиптический интеграл второго рода (E(k)) выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса.
- E(k) можно выразить через K(k) и π/2.
- E(k) можно вычислить с помощью арифметико-геометрического среднего.
-
Вычисление E(k)
- E(k) можно вычислить через арифметико-геометрическое среднее.
- Для вычисления E(k) используются последовательности an и gn.
- E(k) выражается через K(k) и π/2.
-
Дифференциальное уравнение и производные
- dE(k)/dk = E(k) – K(k)/k.
- d(k dE(k)/dk) = kE(k).
- E(√1 – k2) – K(√1 – k2) также является решением уравнения.
-
Полный эллиптический интеграл третьего рода
- Полный эллиптический интеграл третьего рода (Π(n, k)) определяется через интеграл по θ.
- Π(n, k) также можно вычислить с помощью арифметико-геометрического среднего.
-
Частичные производные Π(n, k)
- ∂Π(n, k)/∂n = 1/2(k2 – n)(n – 1)(E(k) + 1/n(k2 – n)K(k) + 1/n(n2 – k2)Π(n, k)).
- ∂Π(n, k)/∂k = k/(n – k2)(E(k)/(k2 – 1) + Π(n, k)).
-
Функция Якоби
- Функция Якоби (Z(φ, k)) определяется как E(φ, k) – E(k)K(k)F(φ, k).
- Z(φ, k) связана с функцией zn(F(φ, k), k).
-
Соотношение Лежандра
- Соотношение Лежандра связывает K(ε)E(1 – ε2) + E(ε)K(1 – ε2) – K(ε)K(1 – ε2) = π/2.
- Для лемнискатического случая ε = 1/√2.
-
Общий случай
- Для общего случая производные K и E комбинируются с производной функции круга.
- В результате получается уравнение, которое при ε = 1/√2 дает горизонтальную прямую.