Оглавление
- 1 Эндоморфизм Фробениуса
- 1.1 Определение эндоморфизма Фробениуса
- 1.2 Свойства эндоморфизма Фробениуса
- 1.3 Неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса
- 1.4 Автоморфизм Фробениуса как генератор групп Галуа
- 1.5 Фробениус для схем
- 1.6 Расширение скаляров и изменение базы
- 1.7 Относительный морфизм Фробениуса
- 1.8 Арифметика Фробениуса
- 1.9 Геометрический морфизм Фробениуса
- 1.10 Арифметические и геометрические действия Фробениуса как действия Галуа
- 1.11 Фробениуса для локальных полей
- 1.12 Фробениуса для глобальных полей
- 1.13 Примеры
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Эндоморфизм Фробениуса
Эндоморфизм Фробениуса
-
Определение эндоморфизма Фробениуса
- Эндоморфизм Фробениуса отображает каждый элемент в его p-ю степень.
- В определенных контекстах это автоморфизм, но в целом это неверно.
-
Свойства эндоморфизма Фробениуса
- Эндоморфизм Фробениуса является кольцевым гомоморфизмом.
- Если кольцо R без нильпотентных элементов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен.
- Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если R – поле.
-
Неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса
- В конечном поле Fp каждый элемент удовлетворяет xp = x.
- В алгебраическом расширении Fp фиксированное поле автоморфизма Фробениуса равно Fp.
- В конечном поле Fpn каждый элемент является корнем Xpn − X.
-
Автоморфизм Фробениуса как генератор групп Галуа
- Группа Галуа расширения конечных полей порождается итерацией автоморфизма Фробениуса.
- Автоморфизм Фробениуса не является генератором абсолютной группы Галуа, но является генератором каждого конечного частного абсолютной группы Галуа.
-
Фробениус для схем
- Существует несколько способов определения морфизма Фробениуса для схемы.
- Абсолютный морфизм Фробениуса – это гомеоморфизм схемы с самим собой.
- Ограничение и расширение скаляров по Фробениусу – это функторы, сохраняющие свойства схем.
-
Расширение скаляров и изменение базы
- Расширение скаляров сохраняет конечность типа, конечное представление, разделение и аффинность.
- Изменение базы согласуется с расширением скаляров: существует естественный изоморфизм.
-
Относительный морфизм Фробениуса
- Определяется универсальным свойством отката X(p).
- Совместим с изменением базы и является универсальным гомеоморфизмом.
- Для замкнутых погружений определяется идеальным пучком Ip.
-
Арифметика Фробениуса
- Определяется как базовое изменение FS в 1 раз.
- Для неразветвленных расширений является гомоморфизмом.
-
Геометрический морфизм Фробениуса
- Определяется как базовое изменение F^-1 в 1 раз.
- Для неразветвленных расширений является изоморфизмом.
-
Арифметические и геометрические действия Фробениуса как действия Галуа
- Морфизм Фробениуса генерирует подгруппу группы автоморфизмов S.
- В случае конечного поля группа автоморфизмов является группой Галуа.
- Арифметический и геометрический морфизмы Фробениуса являются эндоморфизмами X и приводят к действию группы Галуа.
-
Фробениуса для локальных полей
- Определяется для неразветвленных конечных расширений локальных полей.
- Автоморфизм sΦ из L индуцирует эндоморфизм Фробениуса в соответствующем расширении полей вычетов.
-
Фробениуса для глобальных полей
- Определяется для конечных расширений Галуа глобальных полей.
- Элемент Фробениуса определяется для элементов кольца целых чисел из L.
-
Примеры
- Многочлен с дискриминантом 3 не разветвляется по простому числу 3.
- Присоединение корня к полю 3-адических чисел дает неразветвленное расширение.
- Отображение Фробениуса дает результат, равный по модулю p p-й степени корня.